Matematické Fórum

Paralen · 10. 02. 2015 01:30

Zdravím. Z následujícího příkladu...:
______________________________
Přímým důkazem dokažte větu: $[a,b\in \mathbb{R}^{+}] \Rightarrow [\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}]$

1.) $[a,b\in \mathbb{R}^{+}] \Rightarrow [\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}]$
2.) $(a-b)^2\ge 0 \Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge 0 \Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge 4ab ...$
______________________________

... jsem se dozvěděl, že kladná reálná čísla lze zapsat jako $(a-b)^2$ . Chtěl bych se zeptat, jak jsme se k tomu dostali.

Předem díky

misaH · 10. 02. 2015 06:32

↑ Paralen:

No - pri rozdieli musia byť rôzne.

Druhá mocnina reálneho čísla záporná byť nemôže.

Honzc · 10. 02. 2015 07:24

↑ Paralen:
Zkus se podívat třeba Sem

vlado_bb · 10. 02. 2015 08:43

↑ Paralen:Ak spravne rozumiem, pytas sa, preco je kazde $c \ge 0$ mozne zapisat v tvare $(a-b)^2$ , je to tak?

Paralen

Původně jsem si myslel, že ten kvadrát neříká nic o samotných číslech "a" a "b", ale jen o jeho kvadrátech. "a" i "b" mohou být záporné, jelikož druhá mocnina je vždy kladná. Ne?

Pokud má kvadrát reprezentovat jedno číslo, myslím, že celkem chápu, že každé reálné číslo lze zapsat jako kvadrát rozdílu jiných dvou reálných čísel. Ale když už, tak by výsledné číslo mělo být větší jak nula, ne? Pokud vím, nula není kladná, ale nezáporná.

misaH · 10. 02. 2015 12:32

↑ Paralen:

Každé reálne nie, s rovnosťou nezáporné, bez rovnosti kladné, takže ak má byť $(a-b)^2$ kladné, musí byť $a\ne b$ .

Paralen

Pardon, tedy každé kladné / nezáporné reálné číslo. :)

Ale stále mi tam něco nedochází. Jelikož to mají být kladná reálná čísla, tak se tedy a nesmí rovnat b. Jenže o tom se v zadání nic nepíše - ze zadání jsem pochopil, že to mají být dvě kladná reálná čísla, ale nikde není určeno, že mají být různá.
$[a,b\in \mathbb{R}^{+}]$

Rumburak · 10. 02. 2015 13:32

↑ Paralen:

Ahoj.

Pokus se onu větu, jejíž platnost Ti není jasná, přesně zformulovat (např. ve tvaru "Jesltiže .... , potom .... . ") .
Pak se nad ní můžeme zamyslet - buďto ji dokázat, nebo vyvrátit.

Honzc · 11. 02. 2015 11:04

↑ Paralen:
V zadání se opravdu nepíše, že mají být různá.
Však také pro a=b vyjde $(a-b)^2=0$ a pak aritmetický průměr je roven geometrickému.
Napíšu ti celý důkaz.
$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$
$a+b\ge 2\sqrt{ab}$
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\ge 4ab$
$a^{2}-2ab+b^{2}\ge 0$
$(a-b)^{2}\ge 0$
A protože druhá mocnina reálného čísla je vždy větší nebo rovna nule (rovna nule je pro nulu), pak platí to co jsme měli dokázat.