Matematické Fórum

suklu · 10. 02. 2015 13:44

Zdravim, mam priklad

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-02/72127_20150127%2Bvytvor%2Bfce%2Bnewton.png

Reseni by melo byt prez newtonuv vzorec, ale ztracim se v uprave vyrazu, aby odpovidal zadani newtonova vzorce. Puvodni myslenka byla rozdelit zlomek na dva zlomky, a resit to jako dva priklady, ale nevim si rady co s druhym zlomkem 1/x.

Rumburak

Ahoj.

Jak máte definován pojem "vytvořující funkce posloupnosti $(a_n)$ " ?

Puvodni myslenka byla rozdelit zlomek na dva zlomky, a resit to jako dva priklady,

Takový nápad by se u jiné funkce hodit mohl, ale zde ne.

K rozvedení funkce $f$ v mocninnou řadu se středem v bodě $0$ bude nutno odstranit její singularitu v tomto bodě.
K tomu pomůže rozšířit zlomek definující funkci $f$ výrazem $1 + \sqrt{1 + 2x}$ .

suklu · 11. 02. 2015 15:04 — Editoval suklu (11. 02. 2015 15:06)

↑ Rumburak:

Definice vytvor fce posloupnosti mame takto:

Necht $\{a_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ je posloupnost. Potom vyraz $f(x) = a_{0} + a_{1}*x^{} + a_{2} *x^{2}+... (=\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}*x^{n})$ potom vyraz nazveme vytvorujici funkci posloupnosti $\{a_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ .

Napadlo me jeste reseni, pokud mam newtonuv vzorec jako $(1+x)^{m} = 1 + m*x + \frac{m*(m-1)}{2!} * x^{2} + \frac{m*(m-1)*(m-2)}{3!} * x^{3} + ...$

tak jestli by se to nenechalo upravit jako rovnice.

Rumburak · 11. 02. 2015 15:57

↑ suklu:

Ano, to je obvyklá definice. Podle ní ale - budeme-li striktní - funkce $f$ z Tvé úlohy není vytvořující funkcí
žádné posloupnosti, a sice skrze onu singularitu v bodě $x =0$ , kde není definována, zatímco

$f(x) = a_{0} + a_{1} x^{} + a_{2}x^{2}+... (=\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n})$

z definice vytvořující funkce je v nule definována vždy. Proto jsem se na tu definici ptal.

Funkci $f$ z Tvé úlohy ale je možno v nule spojitě dodefinovat. Způsob, který jsem navrhl ve svém předchozím
příspěvku, je sice správný, ale ne zcela výhodný. Lepší bude použít onen vzorec

$(1+t)^{m} = 1 + mt + \frac{m(m-1)}{2!} \cdot t^{2} + \frac{m(m-1)(m-2)}{3!} \cdot t^{3} + ...$

pro $m = \frac{1}{2} , t = 2x \in (-1, 1)$ . Po odečtení $1 - 1$ v čitateli půjde zlomek vykrátit proměnnou $x$ ,
čímž se zmíněná singularita odstraní rovněž a zároveň získáme hledanou posloupnost.

Ještě poznámka:
Porovnáme-li oba způsoby, jimiž byla odstraněna singularita fce $f$ , dostaneme celkem zajímavý vztah.