Matematické Fórum

Fobl · 10. 02. 2015 23:22

Dobrý den.
Mám příklad: $(2x+3)^{3}y'''+3(2x+3)y'-6y=0$
Příklad jsem řešil následovně, ale je to zřejmě špatně.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-02/05130_img246.jpg
Wolfram alpha ukazuje výsledek $y(x)=c_{2}(2x+3)^{\frac{3}{2}}+c_{3}(2x+3)+c_{1}\sqrt{2x+3}$ , ale mně vychází $c_{1}(2x+3)^{2}+c_{2}(2x+3)^{\frac{1}{2}+\sqrt{11}i}\ln x+c_{3}\sqrt{2x+3}^{\frac{1}{2}-\sqrt{11}i}\ln ^{2}x$

Bati · 11. 02. 2015 00:29 — Editoval Bati (11. 02. 2015 00:47)

Ahoj,
nejsou ty první 2 rovnice trochu nekonzistentní? V první je y funkce x, a ve druhé zřejmě chápeš y jako funkci t (viz 3. řádek), což se ti ale neprojevilo v těch derivacích. Pokud $t(x)=2x+3$ , tak dostáváš novou funkci $z(t(x)):=y(x)$ , takže $y'(x)=z'(t)t'(x)=2z'(t)$ , $y'''(x)=8z'''(t)$ .

PS.: Rovnice $8({\lambda}^3-3{\lambda}^2+2\lambda)+2(3\lambda)-6=0$ už dává správný výsledek, takže to máš jinak dobře.

Fobl · 11. 02. 2015 23:02

Dobrý den.
Děkuji.
Chybu jsem opravil a už mi vychází správný výsledek.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-02/91981_img278.jpg

Bati · 12. 02. 2015 07:40

↑ Fobl:
Ta dif. rce po substituci ale vypadá takto: $8t^3y'''+6ty'-6y=0$ , kde y už není to samé y jako na začátku, viz to moje z.

Fobl · 12. 02. 2015 21:50 — Editoval Fobl (12. 02. 2015 21:51)

Dobrý den.
Tak že chápu li to dobře, tak jsem měl místo $t^3y'''+3ty'-6y=0$ psát $8t^3y'''+6ty'-6y=0$ . a potom mi ve výpočtu chybí zápis $z(t(x)):=y(x)$ $y'(x)=z'(t)t'(x)=2z'(t)$ $y'''(x)=8z'''(t)$ .
Výpočet je jinak dobře? Došel jsem k výsledku, který mi ukazuje Wolfram alpha. Možné je, že u mě nebyla úplně dodržena určitá matematická konvence.

Bati · 12. 02. 2015 22:38 — Editoval Bati (12. 02. 2015 22:47)

↑ Fobl:
Ano, takto by to bylo správně.

O žádné matematické konvence mi nešlo - jde o to, že pokud člověk transformuje např. rovnici $(2x+3)y'+y=0$ na $ty'+y=0$ pomocí substituce $t=2x+3$ , tak je téměř jisté, že tomu vůbec nerozumí. Logicky: pokud do nějaké funkce strčím nějaký argument, který se mění dvakrát rychleji než ten původní, pak se mi taky zdvojnásobí růst (rozuměj derivace) celé funkce. Viz např. $\sin(x), \cos(x)$ vs. $\sin(2x), 2\cos(2x)$ . To je přesně princip pravidla o derivaci složené funkce, který je třeba mít stále na paměti.