Matematické Fórum

Mihulik · 18. 01. 2012 13:23

Ahoj,
zadání zní:
"
Mějme lin. zobrazení $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow P^2$ ( $P^2$ je prostor polynomů stupně maximálně 2) a $g:P^2\rightarrow \mathbb{R}^3$ zadané následovně:
$f((1,0,0))=2x^2+x+2$
$f((0,1,0))=-2x+1$
$f((0,0,1))=3x^2+3$

$g(2x^2+x)=(2,-1,8)$
$g(x^2+x)=(3,2,5)$
$g(-x^2-x+1)=(-1,3,-9)$

Spočítejte matici složeného zobrazení $g\circ f$ vzhledem ke kanonické bázi.
Je toto zobrazení prosté a na?
"

Mé řešení:
Hledám $_{kan}[g\circ f]_{kan}$
Ze zadání vím, že:
$_{kan}[f]_{kan}=\begin{pmatrix}\\2&0&3 \\1&-2&0 \\2&1&3 \end{pmatrix}$
$_{kan}[g]_{B_{1}}=\begin{pmatrix}\\2&3&-1 \\-1&2&3 \\8&5&-9 \end{pmatrix}$ , kde $B_{1}=((2,1,0),(1,1,0),(-1,-1,1))$

Vyjádřím si $_{kan}[g\circ f]_{kan}$ jako $_{kan}[g\circ f]_{kan}=_{kan}[g]_{B_{1}}\cdot _{B_{1}}[id]_{kan}\cdot _{kan}[f]_{kan}$

Ze soustavy rovnic si zjistím, že:
$[(1,0, 0)]_{B_{1}}=(1,-1,0)$
$[(0,1, 0)]_{B_{1}}=(-1,2,0)$
$[(0,0, 1)]_{B_{1}}=(0,1,1)$

a tedy $_{B_{1}}[id]_{kan}=\begin{pmatrix}\\1&-1&0 \\-1&2&1 \\0&0&1 \end{pmatrix}$

Z toho: $_{kan}[g\circ f]_{kan}=\begin{pmatrix}\\2&3&-1 \\-1&2&3 \\8&5&-9 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\\1&-1&0 \\-1&2&1 \\0&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\\2&0&3 \\1&-2&0 \\2&1&3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\\6&-6&3 \\9&-5&6 \\0&-8&-3 \end{pmatrix}$

Prosté?
$\begin{pmatrix}\\6&-6&3 \\9&-5&6 \\0&-8&-3 \end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}\\6&-6&3 \\0&-8&-3 \\0&0&0 \end{pmatrix}\Rightarrow Ker(A)\neq \{o\}$ => není prosté

Na?
$dim\mathbb{R}^3=dimP^2=3$
$dim(g\circ f)(\mathbb{R}^3)=rank(_{kan}[g\circ f]_{kan})=2$ => prostor o menší dimenzi nemůže "pokrýt" prostor o větší dimenzi => není na

Pokud by někdo našel tu chvilku a zkouknul mi to, byl bych mu moc vděčný.

Děkuji!:)