Matematické Fórum

Krokzakrokem

Pomohl by mi prosím někdo s následujícím příkladem? -

Ať R^(≤3) [x] je lineární prostor polynomů nad R nejvýše třetího stupně. Označme jako X a Y uspořádané báze tohoto prostoru, kde X = {1,x,x^2,x^3 }, Y = {1,1+x,1+x+x^2,1+x+x^2+x^3}.
Ať der:R^(≤3) [x] → R^(≤3) [x] je lineární zobrazení, které přiřazuje polynomu jeho první derivaci. Zapište matici A tohoto zobrazení vzhledem k uspořádané bázi X a matici B tohoto zobrazení vzhledem k uspořádané bázi Y.

Hodně by mi pomohl postup, ať vím, jak na to. Předem moc děkuju

Rumburak

Ahoj. Jen navedu.

Má-li polynom $f$ v bázi $X$ vyjádření $(a, b, c, d)$ , znamená to, že $f(x) \equiv a + bx + cx^2 + dx^3$ .
Potom

$f'(x) \equiv b + 2cx + 3dx^2 = b + 2cx + 3dx^2 + 0x^3$ ,

takže $f'$ má v téže bázi vyjádření $(b, 2c, 3d, 0)$ .
Matici $A$ tedy hledáme takovou, aby $A(a, b, c, d)^T = (b, 2c, 3d, 0)^T$ pro libovolná (reálná ?) $a, b, c, d$ .
Je zřejmé, že první řádek matice $A$ bude $(0, 1, 0, 0)$ , druhý $(0, 0, 2, 0)$ atd.

Při hledání matice $B$ postupujeme obdobně, vyjádření přechodu od polynomu k jeho derivaci vůči bázi $Y$
bude ale poněkud složitější.

Krokzakrokem · 12. 02. 2015 15:29

$(b, 2c, 3d, 0)$ ↑ Rumburak: Jasně, takže další 2 řádky té první matice je (0, 0, 0, 3) a (0, 0, 0, 0). Můžu se aspoň ještě zeptat na 1. řádek té první matice? Nejsem si úplně jistá, jak zpracovat ten druhý přechod. Aspoň ten první řádek s vysvětlením by mi pomohl, děkuju moc.

Rumburak

↑ Krokzakrokem:

Návod postupu u druhé úlohy:

Předpokládejme nyní, že $(a, b, c, d)$ je vyjádření polynomu $f$ vůči bázi

$Y = (1, 1+x, 1+x+x^2, 1+x+x^2+x^3)$ .

Potom tedy

$f(x) \equiv a + b(1+x) + c(1+x + x^2) + d(1+x + x^2 + x^3)$ ,
(1) $f'(x) \equiv 0 + b + c(1+ 2x) + d(1+2x + 3x^2 )$ .

Nyní uvažujme vyjádření $(a', b', c', d')$ polynomu $f'$ vůči bázi $Y$ , tj. aby

(2) $f'(x) \equiv a' + b'(1+x) + c'(1+x + x^2) + d'(1+x + x^2 + x^3)$ .

porovnáním (2) s (1) (třeba i pomocí klasické věty o identické rovnosti dvou polynobmů) dostaneme
převodní vztahy (tj. rovnice) mezi $(a, b, c, d)$ , $(a', b', c', d')$ , které je třeba zapsat ve tvaru

$(a', b', c', d')^T = B(a, b, c, d)^T$ ,

kde nalezení matice $B$ je cílem úlohy.