Matematické Fórum

xstudentíkx · 14. 02. 2015 19:50

Dobrý večer,

potřebuji poradit, zda mám dobře řešení a vysvětlit určitou věc v této kvadratické komplexní rovnici.

Rovnice:

$x^{2}+ix-3x+2-2,5i=0$

$x^{2}+x(i-3)+2-2,5=0$

Diskriminant mi vyjde $4i$ zkoušela jsem řešení i pro $D<0$ a výsledek $D$ je opět $4i$ .

Po řešení mi vyšlo: $\frac{-i+3\mp 2\sqrt{i}}{2}$ (pokud beru, že $D\ge 0$ )

Dále jsem si zjistila, že $\sqrt{i}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (tento výsledek mi vyhodil WolframAlpha a nevím proč je to zrovna toto konkrétní číslo, což by mě také dost zajímalo)

Potom mé řešení vypadá takto:

$\frac{-i+3\mp \sqrt{2}}{2}$

Což nevím zda je správně, jelikož výsledek uváděný autory se mi zdá trochu nepřehledný a neúplný:

$x_{1,2}\in \{\frac{3}{2}\mp \frac{\sqrt{2}}{2}+i(-1\mp \frac{\sqrt{2}}{2}\}$ (ve výsledku chybí konec vnitřní závorky, tudíž přesně nevím zda končí za -1 nebo za celým výrazem)

Napadlo mě, že ve výsledku je chyba i taková, že místo + má být ;, pak by můj výsledek seděl (pokud závorka končí u čísla -1).

Opravdu nevím zda to mám dobře či ne, prosím tedy někoho o kontrolu a zajímá mě proč $\sqrt{i}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (pak je mi jasné, že musím použít řešení pro $D\ge 0$ )

misaH · 14. 02. 2015 20:12 — Editoval misaH (14. 02. 2015 20:21)

↑ xstudentíkx:

Mne WA vyhodil iný výsledok Pre $\sqrt i$ .

$\frac {1+i}{\sqrt 2}$ , čo je po úprave $\frac{\sqrt 2}{2}+\frac {\sqrt 2}{2}i$

Výsledok umocnený na druhú musí dať $i$ .

xstudentíkx · 14. 02. 2015 20:20

↑ misaH:

Brala jsem desítkové přiblížení: 0,707106.... což se rovná: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Jako alternativní formy jsou uvedené formy obsahující imaginární jednotku.

Tudíž nemohu použít $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ? (Proč)

misaH · 14. 02. 2015 20:22 — Editoval misaH (14. 02. 2015 20:24)

↑ xstudentíkx:

Lebo keď to dáš na druhú, nevyjde $i$ .

$\sqrt 9=3$ , lebo $3^2=9$ .

Tam je $0,70....+0,70....i$

misaH · 14. 02. 2015 20:30

Záleží na tom, čo vieš o komplexných číslach, ich algebraickom a goniometrickom tvare, ako súvisí goniometrický tvar s násobením komplexných čísel.

xstudentíkx · 14. 02. 2015 20:33

↑ misaH:

To je pravda no :)

Pak výsledek vychází, akorát je chyba v zadaném výsledku a místo + má být ;, jak už jsem říkala, že?

misaH · 14. 02. 2015 20:37 — Editoval misaH (14. 02. 2015 20:44)

↑ xstudentíkx:

Nerozumiem prečo by tam nemalo byť to plus. Je to komplexné číslo (čísla) v algebraickom tvare $z=a+bi$ .

Riešiť sa mi to celé nechce, možno niekto iný ti to prepočíta.

Výsledok by sa mal dať skontrolovať dosadením.

xstudentíkx

↑ misaH:

Takové číslo se mi moc dosazovat nechce....

Mno zkusím to celé svoje řešení přepočítat, zkusit rozložit do algebraického tvaru a snad se dostanu ke shodě....

To proč je $\sqrt{i}$ = $\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ mi nějak nevychází (s odmocninami v komplexním číslem jsem ještě nepracovala)

Jelikož po převodu do goniometrického tvaru mi musí vyjít $r=\sqrt{2}$ kde mi nějak chybí jedna jednička, protože $\sqrt{\sqrt{1}}=1$ tento výsledek by mi vycházel v případě 1+i.

misaH · 14. 02. 2015 21:15 — Editoval misaH (14. 02. 2015 21:18)

↑ xstudentíkx:

Čo nevychádza? Nechápem.

Veď umocni na druhú ten zlomok:

$$\frac{1+i}{\sqrt{2}}$^2=\frac{1+2i+i^2}{2}=i$

(A ešte to platí aj pre rovnaký, len "záporný" zlomok.)

xstudentíkx · 14. 02. 2015 21:29

↑ misaH:

Ano toto vychází, ale nevychází mi to způsobem, který znám (nevím jak tam zahrnout tu odmocninu).

Jak z $\sqrt{i}$ dostanu toto: $\frac {1+i}{\sqrt 2}$

$r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ , potom $\frac{a}{r}$ a $\frac{bi}{r}$

a = real. část, která je v případě $\sqrt{i}$ nulová

b = imaginární část, která je $\sqrt{1}=1$

Nevím jak mám dosadit $\sqrt{}$

misaH · 14. 02. 2015 21:34

↑ xstudentíkx:

Myslím, že treba použiť Moivrovu vetu pre $i^{\frac 12}$

xstudentíkx · 14. 02. 2015 22:09

↑ misaH:

Jo takto....

Moc děkuji :)

misaH · 14. 02. 2015 22:16 — Editoval misaH (14. 02. 2015 22:25)

↑ xstudentíkx:

Moivrova veta sa dá rozšíriť aj na mocnina, ktoré sú V tvare zlomku.

Ja by som to robila cez násobenie komplexných čísel a jeho interpretáciu v Gaussovej rovine.

xstudentíkx · 14. 02. 2015 22:31

↑ misaH:

Ano já vím, pár příkladů pomocí Moivreovy věty jsem už řešila....

Půjdu o tom něco více nastudovat...

Matematické Fórum

#1 14. 02. 2015 19:50

kvadratická komplexní rovnice

#2 14. 02. 2015 20:12 — Editoval misaH (14. 02. 2015 20:21)

Re: kvadratická komplexní rovnice

#3 14. 02. 2015 20:20

Re: kvadratická komplexní rovnice

#4 14. 02. 2015 20:22 — Editoval misaH (14. 02. 2015 20:24)

Re: kvadratická komplexní rovnice

#5 14. 02. 2015 20:30

Re: kvadratická komplexní rovnice

#6 14. 02. 2015 20:33

Re: kvadratická komplexní rovnice

#7 14. 02. 2015 20:37 — Editoval misaH (14. 02. 2015 20:44)

Re: kvadratická komplexní rovnice

#8 14. 02. 2015 21:05 — Editoval xstudentíkx (14. 02. 2015 21:05)

Re: kvadratická komplexní rovnice

#9 14. 02. 2015 21:15 — Editoval misaH (14. 02. 2015 21:18)

Re: kvadratická komplexní rovnice

#10 14. 02. 2015 21:29

Re: kvadratická komplexní rovnice

#11 14. 02. 2015 21:34

Re: kvadratická komplexní rovnice

#12 14. 02. 2015 22:09

Re: kvadratická komplexní rovnice

#13 14. 02. 2015 22:16 — Editoval misaH (14. 02. 2015 22:25)

Re: kvadratická komplexní rovnice

#14 14. 02. 2015 22:31

Re: kvadratická komplexní rovnice

Zápatí