Matematické Fórum

jan.westhuserlt@centrum.c · 13. 02. 2015 19:05

Ahoj, VŠ nestuduji, ale moje přítelkyně ano, a chtěla mi vysvětlit, co je fraktál.

Já si to představil takto: je to objekt, který se (vyjma těch umělých, matematických) dá rozkládat na menší části, které jsou podobné původnímu celku.

Asi, jako kdybych postavil tunovou repliku lego cihličky, z podobných cihliček, a pak ji zase začal zpětně rozebírat.

vanok · 15. 02. 2015 04:12

Ahoj ↑ jan.westhuserlt@centrum.c:,
Tu mas poucne citanie
http://classes.yale.edu/fractals/

Eratosthenes

ahoj ↑ jan.westhuserlt@centrum.c:

Tvoje představa fraktálů je bohužel značně chybná a odkaz ↑ vanok: bych příliš nedoporučoval. Takových odkazů jsou mraky a podle mě právě ony přispívají k zatemňování tohoto pojmu. Autoři těchto stránek se buď domnívají, že přesná definice by byla nad síly čtenáře, anebo ji sami neznají. Proto se na takových stránkách definice nahrazují vágními formulacemi typu "pro fraktál je charakteristická soběpodobnost". Něco takového si já jako matematik přeložím do věty "množina se nazývá fraktál právě tehdy, když je soběpodobná", což ovšem není pravda. A ty si to přeložíš do věty "fraktál je objekt, který se (vyjma těch umělých, matematických) dá rozkládat na menší části, které jsou podobné původnímu celku". To nejenže není pravda, ale pravdou je pravý opak. Právě jen umělé matematické objekty totiž mohou být fraktály. Žádný reálný objekt (navzdory všeobecně používaným formulacím) fraktálem není. Stejně tak jako koulí nebo válcem může být pouze "umělý matematický" objekt, protože žádný reálný objekt není ani koule, ani válec.

Začněme tou soběpodobností. Soběpodobný je útvar, který můžeme sestrojit jako sjednocení jeho obrazů v konečném počtu podobností. Populárně řečeno je to sjednocení konečného počtu zmenšených kopií sama sebe. Například Sierpiňského trojúhelník,

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-02/72357_Sierp.png

který fraktál je, je sjednocení tří svých vlastních kopií zmenšených na polovinu (nebo devíti kopií zmenšených na čtvrtinu atd.) Vezmi modrou část, zvětši dvakrát a vhodně přemísti. Překryješ původní trojúhelník, a to zcela přesně.

Ale přesně totéž platí třeba i pro každý "obyčejný" trojúhelník

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-02/72504_TR_OBYC.jpg

(sjednocení čtyř kopií zmenšených na polovinu), který ovšem fraktálem není.

Naopak např. Mandelbrotova množina je fraktál, ale soběpodobná není. Vezmi jakýkoliv její výřez

a můžeš zvětšovat, zmenšovat a posouvat jak chceš. Nepřekryješ.

Je to prostě takto:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-02/72643_DIAG.png

Pravda je taková, že na definici fraktálů se matematici dosud úplně neshodli. Nejuznávanější definice je tato:

Fraktál je objekt, jehož Hausdorffova dimenze je ostře větší než dimenze topologická.

Pokusím se ještě aspoň zhruba přiblížit pojmy.

Vezmi libovolně malé kladné epsilon a co nejúsporněji pokrývej útvar otevřenými kruhy o poloměru epsilon nebo menším.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-02/72836_DIM.png

Jestliže stačí, aby se v pokrytí překrývaly vždy nejvýš dva kruhy, je útvar topologicky jednorozměrný. Pokud se musejí překrývat tři, je topologicky dvojrozměrný.

Hausdorff to viděl jinak. K co nejúspornějšímu pokrytí vezmi kruhy libovolného (ale stejného) průměru. Je jedno, kolik kruhů se překrývá. Pak průměr zmenšuj - dvakrát, třikrát...

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-02/73018_HAUS.png

a sleduj, kolikrát víc kruhů potřebuješ. Pokud (přibližně) dvakrát, třikrát..., je útvar jednorozměrný. Pokud (přibližně) čtyřikrát, devětkrát..., je útvar dvojrozměrný. U "běžných" útvarů vychází topologická i Hausdorffova dimenze stejně. Vtip je v tom, že ta Hausdorffova může vyjít třeba neceločíselně.

Je totiž definována jako číslo D, pro které platí (značení dle předchozího obrázku)

$0\le \lim_{n\to\infty} v_n^D\cdot p_n<\infty$

Pro případ vlevo je součin v_n * p_n vždy někde mezi nulou a nekonečnem a existuje jeho limita. Aby totéž platiko vpravo, musíš v_n umocnit na druhou.

Ale třeba pro Sierp. trojúhelník je topologická dimenze jedna

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-02/73927_Sierp_dim.png

ale Hausdorffova

je $D=\frac {\ln 3} {\ln 2}$

Jestliže totiž kruhy zmenšuješ dvakrát, čtyřikrát... nepotřebuješ jich víc dvakrát, čtyřikrát... (dimenze jedna je málo), ani čtyřikrát, šestnáctkrát... (dimenze dvě už je moc). Potřebuješ jich víc třikrát, devětkrát...

Máš před sebou fraktál...

jan.westhuserlt@centrum.c · 17. 02. 2015 18:58

Děkuji za pomoc, ale proč tedy, se běžně říká, že "fraktárem" je třeba i pohoří, mrak anebo jakýkoli jiný přírodní úkaz?

Eratosthenes · 17. 02. 2015 22:36

jan.westhuserlt@centrum.c napsal(a):
Děkuji za pomoc, ale proč tedy, se běžně říká, že "fraktárem" je třeba i pohoří, mrak anebo jakýkoli jiný přírodní úkaz?

Zhruba ze stejného důvodu, proč se říká, že to, co se kutálí po kulečníkovém stole, je koule. Reálná kulečníková "koule" není koule, protože nemá ani dokonalý tvar, ani dokonale hladký povrch. Jde jen o to, že v drtivé většině situací můžeme tyto odchylky od přesného tvaru zanedbat.

Jestliže si sestrojím list kapradiny jako fraktál, je to fraktál proto, že při zvětšování detailů narazím vždycky na "stejně složité struktury", a to úplně do nekonečna:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-02/08262_KAP.png

To se ale bude dít jen v případě, pokud "list kapradiny" sestrojuji teoreticky jako matematický objekt. U žádného reálného listu kapradiny to takto nefunguje. Ten to zopakuje dvakrát, třikrát a dost.

Fraktály jsou pouze teoretické matematické objekty, které se hodí k popisu objektů "několikrát opakujících téměř stejně složitou strukturu". Fungují zde lépe než třeba koule, která žádnou složitou strukturu neopakuje vůbec.

jarrro · 18. 02. 2015 08:47 — Editoval jarrro (18. 02. 2015 08:53)

Eratosthenes neodporuješ si v tvojich dovch príspevkoch ? v prvom tvojom príspevku píšeš, že (podľa mňa správne) fraktál nemusí byť sebepodobný a v druhom nefraktálnosť paprade ukazuješ ukázaním, že nie je sebepodobná
ako vieš, že reálny povrch nejakej rastliny nemôže mať neceločíselnú Haussdorffovu dimenziu?(možno naozaj nemôže, ale to čo si uviedol podľa mňa nie je toho dôkazom).
Alebo sa dá dokázať (neviem pýtam sa), že ak je niečo fraktál (má neceločíselnú H. dimenziu) tak síce nemusí byť konečným zjednotením zmenšených kópií,ale niekde sa pri nejakej podobnosti musí objaviť kópia?

vanok · 18. 02. 2015 15:42

Ahoj ↑ jarrro:,
Na tvoje otazky mas odpoved v odkaze ↑ vanok:.
Podla mna je najlepsie sa priblizit k nazorom http://www.ted.com/talks/benoit_mandelb … _roughness
Benoît Mandelbrot ktory je "vynalezca" tohto pojmu.

Eratosthenes

↑ jarrro:

nikde ve svém textu netvrdím, že kapradina (ani ta přírodní, ani ta fraktální) je soběpodobná. Píšu, že u té umělé - fraktální narazím vždycky na "stejně složité struktury". To je něco jiného. "Stejně složité struktury" může vykazovat objekt soběpodobný (to je případ Sierpiňského trojúhelníku), kdy kopie jsou geometricky podobné (tj. přesné zmenšeniny původní množiny), ale mohou být jen takzvaně soběpříbuzné, kdy se uplatňují afinní transformace (lidově řečeno různá zkosení, zúžení, rozšíření apod). To je právě případ umělé kapradiny, kdy člověk v každém kousku "pozná" list kapradiny, ale nikdy to není přesná zmenšenina původního listu. A mohou to být i další transformace - u Mandelbrotovy množiny jsou to například odmocniny - na obrázku v příspěvku ↑ Eratosthenes: poznáš opět "zmenšenou kopii" původní množiny, ale není to ani přesná geometrická podobnost, ani jen nějaké zkosení nebo zúžení, protože z toho menšího "stejného tvaru" zřetelně vybíhají výběžky, které v té větší prokazatelně vůbec nejsou. Jediným faktorem, který to všechno sjednocuje je právě ta (populárně řečeno) "stále stejná složitost" na všech měřítkových škálách. No a měřítkem té "složitosti" je právě Hausdorffova dimenze - čím je větší, tím je fraktál "složitější". Mimochodem - Mandelbrotova množina je nejsložitější útvar, který může existovat. Dá se dokázat, že Hausdorffova dimenze může být větší než ta topologická nanejvýš o jedničku. A M. množina má topologickou dimenzi jedna (je to křivka), ale Hausdorffovu dimenzi má dvě (je to nejsložitější křivka, jaká může existovat, složitější křivku už nikdo nikdy nevymyslí).

P.S. : žádný reálný útvar nemůže mít ani topologickou ani Hausdorffovu dimenzi. Ani celočíselnou, ani neceločíselnou. Nemůže mít žádnou dimenzi. Stejně tak nemůže mít žádnou délku, ani povrch ani objem. Prostě proto, že podíváš-li se na ně pod mikroskopem, objevíš stále menší a menší nerovnosti, které při dalším zvětšování postupně přestanou být nerovnostmi a rozpliznou se do kmitajících atomů a klubek všelijakých vln. Délku, povrch, objem, topologickou, Hausdorffovu a všelijakou jinou dimenzi mohou mít jen více či méně idealizované matematické modely těchto reálných objektů.

Eratosthenes

↑ vanok:

Ano, autorem té nejuznávanější definice je vynálezce toho pojmu. Mnozí mají jeho definici za zlé, že jako fraktál neuznává třeba tzv. ďáblovo schodiště, které na pohled vypadá složitěji než nějaké fraktály, ale podle Mandelbrotovy definice to fraktál není. Mohou tak (třeba i oprávněně) hudrovat, ale od dob Mandelbrota zatím nikdo s ničím lepším nepřišel :-)

jarrro · 19. 02. 2015 09:30 — Editoval jarrro (19. 02. 2015 19:21)

↑ Eratosthenes:aha a objekty s neceločíselnou (správnejšie snáď väčšou ako topologická) H. dimenziou musia mať tie "stále stejne zložité štruktúry"?
resp. ak v objekte tie štruktúry nie sú potom to nemôže byť fraktál?(v zmysle mať väčšiu Haussdorffovu dimenziu ako topologickú)?

Eratosthenes · 19. 02. 2015 19:01

↑ jarrro:

Ano, je to tak. Fraktál je jakousi matematickou precizací vágních pojmů "složitá" nebo "členitá" množina. Ale existují množiny, kdy (aspoň podle některých matematiků) tento pohled trochu selhává. Na následujícím obrázku jsou křivky, které připomínají více či méně složité profily reálné krajiny:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-02/68143_HAUS.png

V tomto případě to docela sedí, protože křivky mají dimenze (shora) 1,75; 1,5 ; 1,25; 1,05. Ta spodní už "moc členitá" není a odpovádá tomu i dimenze - pouhých 1,05

Přesněji řečeno - pokud je to takto namalováno na monitoru, fraktál není ani jedna ta malůvka, protože veškerá "složitost" končí na úrovni pixelu. Ale je třeba si to představit teoreticky jako matematickou konstrukci, tj. bod je nekonečně malý, čára nekonečně tenká a více (nahoře) či méně (dole) "zlomená" v každém bodě (koneckonců odtud je i název: fractus = zlomený).

Takže všechny tyto křivky fraktály jsou. Ale naproti tomu tato křivka

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-02/68536_SCHOD.png

(tzv. ďáblovo schodiště) má Haus. dimenzi jedna, takže to fraktál není, i když podle mnoha matematiků je "dostatečně složitá" nebo "členitá" na to, aby si název fraktál taky zasloužila.

Proto není tato definice bezvýhradně uznávána, ale jak už jsem psal, prozatím nikdo nic lepšího nevymyslel.

Matematické Fórum

#1 13. 02. 2015 19:05

Fraktály

#2 15. 02. 2015 04:12

Re: Fraktály

#3 17. 02. 2015 13:03 — Editoval Eratosthenes (17. 02. 2015 13:10)

Re: Fraktály

#4 17. 02. 2015 18:58

Re: Fraktály

#5 17. 02. 2015 22:36

Re: Fraktály

jan.westhuserlt@centrum.c napsal(a):

#6 18. 02. 2015 08:47 — Editoval jarrro (18. 02. 2015 08:53)

Re: Fraktály

#7 18. 02. 2015 15:42

Re: Fraktály

#8 18. 02. 2015 20:21 — Editoval Eratosthenes (18. 02. 2015 20:37)

Re: Fraktály

#9 18. 02. 2015 20:26 — Editoval Eratosthenes (18. 02. 2015 20:38)

Re: Fraktály

#10 19. 02. 2015 09:30 — Editoval jarrro (19. 02. 2015 19:21)

Re: Fraktály

#11 19. 02. 2015 19:01

Re: Fraktály

Zápatí