Matematické Fórum

ttt_ · 08. 02. 2015 21:31

Existuje aj dalsi sposob riesenia, ale predpokladam ze by to bolo este komplikovanejsie.

Najprv najdes vseobecne riesenie homogennej DR: $y_h=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x) + C_3 y_3(x)$ - toto uz mas
$y_1(x),y_2(x),y_3(x)$ - poznas

Potom budes hladat partikularne riesenie inhomogennej DR v tomto tvare: $y_{i,p}=C_1(x) y_1(x)+C_2(x) y_2(x) + C_3(x) y_3(x)$

$C_1'(x) y_1(x)+C_2'(x) y_2(x) + C_3'(x) y_3(x)=0\\ C_1'(x) y_1'(x)+C_2'(x) y_2'(x) + C_3'(x) y_3'(x)=0\\ C_1'(x) y_1''(x)+C_2'(x) y_2''(x) + C_3'(x) y_3''(x)=r(x)$

v tvojom pripade $r(x)=(2x+1)\sin x + (x^2-4x)\cos x$

pomocou uvedenej sustavy rovnic najdes konstantne funkcie: $C_1(x),C_2(x),C_3(x)$

vseobecnym riesenim inhomogennej DR bude $y=y_h+y_{i,p}$

jelena · 09. 02. 2015 19:21

Zdravím,

↑ ttt_: děkuji, "predpokladam ze by to bolo este komplikovanejsie." (c) - to těžko říci, muselo by se prozkoušet, ale na úvod zaznělo, že metoda neurčitých koeficientů bude více použitelná (a pohledem na pravou stranu bych to tak si i představovala). Zkoušel jsi Tvůj návrh dotahovat do konce, dopadlo to nějak? Děkuji.

↑↑ Fobl: omlouvám se, byla jsem mimo internety, dnes jsem vložila levou stranu do WA - 3 derivace a násobení 2. derivace 2 (ručně už bych časově nezvládala), potom koeficienty jsem posbírala ručně a soustavu jsem také řešila ručně, nakonec mi to všechno vyšlo dle řešení, co jsi uváděl. Ale chyb a překlepů jsem měla moc a moc.

Tedy snad ještě s WA překontroluj dílčí výpočty. Jen jsem musela přeznačit závorku u cos(x) na $px^2+mx+n$ , některá písmena špatně interpretoval.

Potom - pořád se mi zda vhodné prozkoušet substituci $y^{\prime}=t$ , čímž se poníží řád rovnice a levá strana bude vyžadovat jen 2 derivace. Výsledek ještě musí být integrován, ale mělo by vycházet na per partes. Další téma ještě překontroluji, ale později.

Fobl napsal(a):
Trošku si ještě říkám, jestli se to dá řešit i nějakým jednodušším postupem.

No to bych také rada věděla. Děkuji za doporučení.

ttt_ · 09. 02. 2015 20:09

↑ jelena:
No v mojom pripade sa dostanes ku skaredym integralom :)
Ako napriklad: $\int e^{-x} \sin(x)(2*x+1)\,dx$
alebo: $\int e^{-x} \cos(x)(x^2-4x)\,dx$

jelena · 10. 02. 2015 10:54

ttt_ napsal(a):
No v mojom pripade sa dostanes ku skaredym integralom :)

:-) tak to tam ani raději nepůjdu (i když v nouzi bychom mohli použit exponenciální tvary pro sin(x) a cos(x) a tak škaredou cestu obejit). Zatím se mi nejvíce použitelná jeví cesta snižování řádu přes $y^{\prime}=t$ , co jsem trochu zkoušela, integrování by mělo být na závěr schůdné. Nebo ta cesta, co jsme již prošli.

Co autor tématu? Děkuji.

Rumburak

↑↑ Fobl:

Ahoj.

Tu rovnici lze zintegrovat (pravou stranu několikanásobným použitím metody per partes) na rovnici 2. řádu.

Obdobného efektu lze dosáhnout substitucí $y' = u$ .

Fobl · 12. 02. 2015 23:40

Dobrrý den.
Co máme skripta, tak tam čtu, že jedna z variant je princip superpozice. Strana 26 MA2 Rovnici rozdělíme na dvě úlohy.
Uvažuju o tom, zda by nebylo vhodné použít princip superpozice a substituci $y^{\prime}=t$ .

jelena · 13. 02. 2015 12:30

Zdravím,

↑ Fobl:

nevidím žádný důvod, co by tomu bránilo (i včetně navrhované substituce, nebo návrh kolegy ↑ Rumburak:). Jinak předchozí postup nebyl problémový, co do použití, ale dost náchylný na nepozornost při úpravách a překlepy ↑ příspěvek 27:. Zdárné dořešení přeji.

Fobl · 14. 02. 2015 22:54

Dobrý den.
Zkoušim to řešit takto, ale nevím jak dál.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-02/50279_img282.jpg
1 otázka je, jestli nemám v uvedeném postupu numerickou chybu. A 2. že nevím jak postupovat dál. Říkám si, že bych měl sestavit rovnici, ale nevím jak.

jelena · 14. 02. 2015 23:52 — Editoval jelena (14. 02. 2015 23:54)

↑ Fobl:

Zdravím,

mně zůstal papír, jak jsem počítala ↑ příspěvek 27: a mám jen rozdíl, že v závorce u sin(x) máš -2B, já mám -4B. U cos(x) mám ještě -2E, zbytek stejně. Ale bez záruky, překontroluj, prosím.

Potom jsem porovnala $\sin(x)\cdot 0x^2=\sin(x)\cdot (-2Ax^2)$ , $A=0$ , proto jsem v závorkách vyškrtla všechno, co mělo A, jelikož se vynuluje.

Pokračovala jsem $-2Dx^2\cdot \cos x=x^2\cos x$ , odsud jsem našla D a rovnou dosadila za všechna D. Potom jsem seskupila všechno co mělo $(...)x\sin(x)$ a porovnala s $2x\sin (x)$ . Atd, to už byly soustavy rovnice (porovnání koeficientů u stejných mocnin x a goniometrických funkcí). To jsi určitě používal např. u parciálních zlomků. Vidíš to tak? Děkuji.

jelena · 15. 02. 2015 21:59

Zdravím,
↑ DL:
založ si, prosím, vlastní téma viz pravidla, tento typ úlohy by měl kompletně projít MAW. Cca za hodinu OT příspěvky skryji, děkuji za pochopení.

Fobl · 16. 02. 2015 08:09

↑ jelena:
Dobrý den.
Zkoušel jsem si to propočítávat ještě jednou a u cos (x) mně ještě vyšlo -2E a u sin (x) mně pořád vycházelo -2B, jinak stejně.
Říkám si jak sestavíme tu rovnici.
Tu sestavujeme takto:
$(-2Ax^{2}-4Ax+4A)\sin x=(2x +1) \sin x$
$(-2Bx-2B)\sin x=(2x +1) \sin x$
$(-2C)\sin x=(2x +1) \sin x$ atd. nebo to je špatně.
Děkuji.

jelena · 16. 02. 2015 11:48

↑ Fobl:

Zdravím,

první klíčové hledisko je, že v porovnávaných výrazech bude vystupovat $\sin x$ a dalším, že příslušná mocnina $x$ (z polynomu v závorce), tedy seskupit tak>
$(-2Ax^{2}-4Ax+4A-2Bx-2B-2C-8Dx-6D-4E)\sin x=2x\sin x +1x^0\sin x$
$(-2Ax^{2}+x(-4A-2B-8D)+x^0(4A-2B-2C-6D-4E))\sin x=0x^2\sin x+2x\sin x +1x^0\sin x$
$-2Ax^{2}\sin x+x(-4A-2B-8D)\sin x+x^0(4A-2B-2C-6D-4E)\sin x=0x^2\sin x+2x\sin x +1x^0\sin x$ .

Z toho rovnice
$-2Ax^{2}\sin x=0x^2\sin x$ , odsud $-2A=0$
$x(-4A-2B-8D)\sin x=2x\sin x$ , odsud $(-4A-2B-8D)=2$
poslední rovnici už bys měl vidět.

Závorku jsem brala "velkou" před sin(x) na Tvém papíře, raději ale překontroluj, zda nemám nějaký překlep. Obdobně i velkou závorku před cos(x) z papíru (a po opravě, co jsi našel). V pořádku? Děkuji.

Fobl · 17. 02. 2015 16:46 — Editoval Fobl (17. 02. 2015 16:47)

↑ jelena:
Děkuji za pomoc a trpělivost s řešením příkladu.
Po zdárném konci se mi povedlo dospět k výsledku.
Po dosazení do rovnice mně vyšlo $A=0, B=1, C=-6, D=-\frac{1}{2}, E=3, F=-2$
$y_{p}=(x-6)\sin x+(-\frac{1}{2}x^{2}+3x-6)\cos x$ a
$y(x)=y(k)+y(p)=c_{1}+c_{2}e^{-x}+c_{3}e^{-x}x+(x-6)\sin x+(-\frac{1}{2}x^{2}+3x-2)\cos x$
WA ukazuje $y(x)=\frac{1}{2}(-2e^{-x}(c_{2}x+c_{1}+c_{2})-(x^{2}-6x+4)\cos (x)+2(x-2)\sin (x))+c_{3}$
Koukám na to a říkám si, že by měl být výsledek správně, protože WA si vytknul před závorku $\frac{1}{2}$ .
Pokud je výsledek správně a k příkladu nejsou žádné připomínky, označim téma jako vyřešené.

jelena · 17. 02. 2015 20:44

↑ Fobl:

také děkuji, jen podle koeficientů, jak jsi napsal $y_{p}=(x-6)\sin x+(-\frac{1}{2}x^{2}+3x-2)\cos x$ (oprava F),
potom WA ukazuje Odkaz (máš asi překlep při přepisu v závorce před sin(x) ve výsledku WA.

A to se mi zda, že v pořádku, ohledně $c$ již jsme kontrolovali. Můžeš nechat WA 3krát zderivovat a udělat ještě zkoušku (dosazením do zadání).

a k příkladu nejsou žádné připomínky,

za mne určitě ne, tuto metodu, předpokládám, že máš osvojenou. Návrh použití substituce by byl o něco úspornější, ale princip stejný. Také děkuji za vytrvalost.

Fobl · 18. 02. 2015 14:45

Dobrý den.
Děkuji za opravu.
Téma považuji za vyřešené, a proto to ho označuji jako vyřešené.
Ještě jednou děkuji za pomoc a trpělivost.

Matematické Fórum

#26 08. 02. 2015 21:31

Re: Diferenciální rovnice

#27 09. 02. 2015 19:21

Re: Diferenciální rovnice

Fobl napsal(a):

#28 09. 02. 2015 20:09

Re: Diferenciální rovnice

#29 10. 02. 2015 10:54

Re: Diferenciální rovnice

ttt_ napsal(a):

#30 10. 02. 2015 10:59 — Editoval Rumburak (10. 02. 2015 11:02)

Re: Diferenciální rovnice

#31 12. 02. 2015 23:40

Re: Diferenciální rovnice

#32 13. 02. 2015 12:30

Re: Diferenciální rovnice

#33 14. 02. 2015 22:54

Re: Diferenciální rovnice

#34 14. 02. 2015 23:52 — Editoval jelena (14. 02. 2015 23:54)

Re: Diferenciální rovnice

#35 15. 02. 2015 18:57 Příspěvek uživatele DL byl skryt uživatelem jelena. Důvod: OT

#36 15. 02. 2015 19:53 — Editoval misaH (15. 02. 2015 19:54) Příspěvek uživatele misaH byl skryt uživatelem jelena. Důvod: OT

#37 15. 02. 2015 21:00 Příspěvek uživatele DL byl skryt uživatelem jelena. Důvod: OT

#38 15. 02. 2015 21:59

Re: Diferenciální rovnice

#39 16. 02. 2015 08:09

Re: Diferenciální rovnice

#40 16. 02. 2015 11:48

Re: Diferenciální rovnice

#41 17. 02. 2015 16:46 — Editoval Fobl (17. 02. 2015 16:47)

Re: Diferenciální rovnice

#42 17. 02. 2015 20:44

Re: Diferenciální rovnice

#43 18. 02. 2015 14:45

Re: Diferenciální rovnice

Zápatí