Matematické Fórum

Pajine · 15. 03. 2009 17:58

ahoj, může mi někdo pomoci se rozhodnout zda tato posloupnost je rostoucí nebo klesající? Já vůbec nevim jak na to...=(

$\frac{1}{2}n^2$

Blizzy · 15. 03. 2009 18:05 — Editoval Blizzy (15. 03. 2009 18:05)

Čím vyšší n dosadíš, tím vyšší hodnoty dostáváš. Takže rostoucí.

Olin · 15. 03. 2009 18:07

Samozřejmě je rostoucí (pokud je n přirozené). Když si vezmeš libovolná dvě přirozená čísla a dosadíš je, tak pro to větší bude vždy i druhá mocnina větší.

Nebo jinak - funkce $f:y = \frac 12 x^2$ je na $\langle 0;\, \infty )$ rostoucí, proto je i ta posloupnost rostoucí.

Pajine · 15. 03. 2009 19:33

ok, díky. A můžete mi ještě poradit jak ze vzorce pro součet n- členů: Sn=n/2 (a1+a1+(n-1)d) vyjádřit d- diferenci?

halogan · 15. 03. 2009 19:35

$2S_n = 2n\cdot a_1 + dn \cdot (n-1) \nl \frac{2S_n - 2na_1}{n\cdot (n-1)} = d$

Marian · 15. 03. 2009 21:53

↑ Blizzy:↑ Olin:
Tvrzení obou z vás jsou velice nepřesná. Důkaz toho, že funkce $\frac{1}{2}x^2$ je rostoucí, je stejně "(ne)náročný" jako v případě posloupnosti $\{\frac{1}{2}n^2\}_{n=1}^{N}$ (jedná-li se o nekonečnou posloupnost, nahradíme N symbolem nekonečna). Navíc pro případ, že chceme mít jasno, nelze nazývat výraz $\frac{1}{2}n^2$ posloupností. Jedná se pouze o její n-tý člen.

Má-li být posloupnost s n-tým členem $\frac{1}{2}n^2$ rostoucí, musíme dokázat, že pro všechna přirozená čísla "n" platí nerovnost
$\frac{1}{2}(n+1)^2-\frac{1}{2}n^2>0.$
Ta je ale ekvivalentní nerovnosti

Ale poslední nerovnost je jistě pravdivá, tedy posloupnost $\{\frac{1}{2}n^2\}_{n=1}^{\infty}$ je rostoucí. Pokud by byla posloupnost konečná, plyne to lehce z předchozího.

Matematické Fórum

#1 15. 03. 2009 17:58

Posloupnosti

#2 15. 03. 2009 18:05 — Editoval Blizzy (15. 03. 2009 18:05)

Re: Posloupnosti

#3 15. 03. 2009 18:07

Re: Posloupnosti

#4 15. 03. 2009 19:33

Re: Posloupnosti

#5 15. 03. 2009 19:35

Re: Posloupnosti

#6 15. 03. 2009 21:53

Re: Posloupnosti

Zápatí