Matematické Fórum

jelinekgreen

Zdravím a prosím o pomoc. Snažím se nějak odvodit vzorec pro rektifikaci parametricky zadané křivky, ale nedaří se.

Jestliže
$x=\varphi (t)$
$y=\psi (t)$

tak (domnívám se) přes vztah inverzní fce: $f(x)=\psi (\varphi ^{-1}(x))$ a po substituci $x=\varphi (t)$
dostávám: $f(x)=\psi (t)\cdot \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}t }$ (nevím, jak napsat tečku nad písmenem..)

Ale ať se snažím, jak chci, ze vzorce pro délku přes f(x) vzorec parametrický ne a ne dostat. Poradí někdo?

Nebo modifikace otázky - jak snadno přejít na parametrické vzorce, abych si je nemusel pamatovat?

Jj · 21. 02. 2015 13:52

↑ jelinekgreen:

Dobrý den.

Řekl bych, že

$ds = \sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{\varphi' (t)^2\,dt^2+\psi' (t)^2\,dt^2}=\sqrt{\varphi' (t)^2+\psi' (t)^2}\,dt$

$\Rightarrow s = \int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\varphi' (t)^2+\psi' (t)^2}\,dt$

jelinekgreen · 21. 02. 2015 13:57

↑ Jj: Děkuji, měl jsem ale na mysli spíše postup přes vzorec $l=\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^{2}} dx$

Sergejevicz · 21. 02. 2015 14:46

jelinekgreen napsal(a):
...přes vztah inverzní fce: $f(x)=\psi (\varphi ^{-1}(x))$ a po substituci $x=\varphi (t)$
dostávám: $f(x)=\psi (t)\cdot \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}t }$

Aby šla funkce $\varphi$ invertovat, musela by být prostá, to se ale na začátku netvrdilo, takže to není automatický postup. Vem si třeba takovou kružnici, kde fí a psí jsou sinus s cosinem. Navíc po dosazení tvé substituce dostaneme, že $f=\psi$ , takže jde jen o přeznačení jedné ze zadaných funkcí a to jaksi nic neřeší.

Dále nějak nechápu, jak jsi přišel na vzdah jsoucí za tvým slovem "dostávám". Dosazením substituce? A proč tedy nalevo zůstalo x? Odkud se napravo zjevila ta derivace? Co by měla znamenat tečka nad písmenem? Tak se třeba ve fyzice značí derivace podle času obvykle značeného t. Chtěl jsi takto derivovat psí? To by rovnost stejně neplatila.

Jinak jestli nevíš, jak napsat tečku nad písmenem, podívej se sem:
http://www.penguin.cz/~kocer/texty/lsho … t2e-cz.pdf
stránka 46. Vůbec, ono je dobré několik takových návodů pročíst, sbírám je :-).

Mně se tvůj postup nějak nezdá, každopádně na to, co v něm asi mělo být, mě přivádí tento tvůj příspěvek.

Kolega ↑ Jj: správně píše, jak se spočítá délka křivky parametrizované dostatečně hladkými funkcemi (zderivujeme parametrizační rovnice podle t, vynásobíme diferenciálem dt a přeznačíme derivaci fí resp. psí podle t na pouhé očárkování fí a psí, dál dosadíme do ds vyjádřeného Pythagorovou větou - dovolím si poznámku, že tento postup by se vlastně měl dělat s diferencemi malými ve srovnání s velikostí křivky, mělo by se sumovat a k integrálu přejít až na úplném konci, ale prací s diferenciály to dá to samé. O tom bych se možná rozepsal někdy jindy a někde jinde). Tam není potřeba prostota parametrizačních funkcí.

A teď, jak dojít k tvému vzorci. To je speciální případ, kdy je křivka grafem funkce f s funkčními hodnotami y a proměnné x. Taková křivka se parametrizuje snadno:
x=t
y=f(t).

Dosaď si tuto parametrizaci do vzorce, který psal kolega Jj. Pokud si pak přeznačíš s na l, meze z t1 resp. t2 na a resp. b a vrátíš se první parametrizační rovnicí od proměnné t k proměnné x, dostaneš právě tvůj vzorec.

Matematické Fórum

#1 21. 02. 2015 13:42 — Editoval jelinekgreen (21. 02. 2015 13:44)

Integrál

#2 21. 02. 2015 13:52

Re: Integrál

#3 21. 02. 2015 13:57

Re: Integrál

#4 21. 02. 2015 14:46

Re: Integrál

jelinekgreen napsal(a):

Zápatí