Matematické Fórum

smajdalf

Zdravím,
potřeboval bych pomoct s jedním příkladem:
7. Je dán lichoběžník ABCD se základnami AB a CD, bod M je průsečík jeho úhlopříček. Platí $S_{\text{ACD}} = 10 \; \text{cm}^2$ , $S_{\text{ABC}} = 40 \; \text{cm}^2$ . Určete $S_{\text{CDM}}$ , $S_{\text{ADM}}$ , $S_{\text{BCM}}$ a $S_{\text{ABM}}$ .

Udělal jsem to tak, že jsem si $S_{\text{CDM}}$ označil jako $x$ , $S_{\text{ABM}}$ jako $z$ a $S_{\text{ADM}} = S_{\text{BCM}}$ jako $y$ .

A z toho mi vyšly dvě rovnice:
x+y=10,
y+z=40.
Ale potřeboval bych ještě jednu.

Poraďte mi někdo, prosím.

Díky předem!

misaH · 22. 02. 2015 16:37 — Editoval misaH (22. 02. 2015 18:09)

↑ smajdalf:

Ten lichobežník je rovnoramenný?

Z čoho usudzuješ na rovnosť obsahov AMD a BMC ?

Možno to len nevidím...

Trojuholníky ABM a CDM sú podobné, pomer podobnosti je 4.

Platí

$\frac{(z_1+z_2)(v_1+v_2)}{2}=10+40$

Odtiaľ sa ľahko vyráta obsah trojuholníka CDM, teda

$\frac {z_2v_2}{2}$ , keď sa uváži spomenutá podobnosť.

v1 je výška trojuholníka ABM, v2 je výška trojuholníka CDM.

smajdalf · 22. 02. 2015 18:39

↑ misaH:

Ne, rovnoramenný není, je obecný.

Rovnost obsahů AMD a BCM plyne z toho, že obsahy ACD a BCD jsou stejné a ten malý trojúhelníček x = CDM mají společný.

Popravdě, nevidím, jak bych se tím tvým postupem dopracoval až k obsahům jednotlivých částí,
ale moc jsi pomohl tím, že jsou trojúhelníky ABM a CDM podobné.
To je ta třetí rovnice, kterou jsem hledal!
Akorát, že v poměru 1:4 jsou délky jejich odvěsen, takže poměr obsahů nebude 4 ale 16.
Čili třetí rovnice je z=16x.

A pak už je to sranda: tři rovnice pro tři neznámé.

Díky!

misaH · 22. 02. 2015 19:02 — Editoval misaH (22. 02. 2015 19:05)

↑ smajdalf:

:-)

Odvesny ...

$z_1=4z_2$ , $v_1=4v2$

Obsah lichobežníka:

$\frac{(z_1+z_2)(v_1+v_2)}{2}=10+40$

$\frac{5z_2\cdot 5v_2}{2}=50$

$\frac {z_2\cdot v_2}{2}=\color{red}2=S_{CDM}$

A to je všetko.

Ale niet nad vlastné postupy ...

Matematické Fórum

#1 22. 02. 2015 16:15 — Editoval smajdalf (22. 02. 2015 17:36)

Geometrická úloha - lichoběžník

#2 22. 02. 2015 16:37 — Editoval misaH (22. 02. 2015 18:09)

Re: Geometrická úloha - lichoběžník

#3 22. 02. 2015 18:39

Re: Geometrická úloha - lichoběžník

#4 22. 02. 2015 19:02 — Editoval misaH (22. 02. 2015 19:05)

Re: Geometrická úloha - lichoběžník

Zápatí