Matematické Fórum

Kelly · 20. 02. 2015 22:40 — Editoval Kelly (20. 02. 2015 22:42)

Dobrý večer, mohla bych poprosit o pomoc s řešením tohoto příkladu?

Homogenní válec o poloměru r a hmotnosti m je upevněn podle obrázku na 2 pružinách. Určete dobu kmitu této soustavy. Přičemž válec nejenom kmitá zleva doprava, ale také se k tomu otáčí).

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-02/68520_DSC_1098.JPG

Máme se dobrat toho, že $T= 2\pi \sqrt{\frac{3m}{4k}}$

Bohužel, mi nějak nedochází ani to, jak muže ten válec na té pružině ještě otáčet? Mám to chápat tak, že se pootočí na jednu stranu, poté na druhou atd? Potřebovala bych vlastně vysvětlit , jak si to mám představit a z čeho vycházet.

Moc děkuji za jakoukoli pomoc :)

misaH · 21. 02. 2015 06:34

↑ Kelly:

Zlepšovák ako valcovať cesto.

zdenek1 · 21. 02. 2015 09:04

↑ Kelly:
Pokud je náš váleček na nudle v krajní poloze, je jeho celková energie rovna potenciální energii pružin, tj. $E_c=2\cdot\frac12kA^2=kA^2$ , kde A je amplituda kmitů.
Pokud prochází váleček rovnovážnou polohou, je jeho celková energie rovna kinetické energii válečku, která se skládá z energie posuvného pohybu $\frac12mv_{\text{max}}^2$ a energie otáčivého pohybu $\frac12J\Omega ^2_{\text{max}}$ , kde $J=\frac12mr^2$ je moment setrvačnosti válce a $\Omega_{\text{max}}=\frac{v_{\text{max}}}{r}$ je maximální úhlová rychlost otáčení válce. Tj.
$E_c=\frac12mv_{\text{max}}^2+\frac14mv_{\text{mx}}^2=\frac34mv_{\text{max}}^2$
Celková energie systému je konstantní, takže platí
$kA^2=\frac34mv_{\text{max}}^2$
Když si nyní uvědomíš, že pro harmonický pohyb (který předpokládáme i když to v textu není) platí $v_{\text{max}}=A\omega$ , kde $\omega$ je úhlová frekvence kmitů válce, dostaneš rovnici
$kA^2=\frac34mA^2\omega ^2$
Přidáš-li další vztah $\omega =\frac{2\pi}{T}$ , zjistíš, že zbytek jsou jen počty.