Matematické Fórum

geovektor1 · 24. 02. 2015 20:00

Ahojte mam taku zaujimavu ulohu a neviem si presne predstavit postup pri rieseni, znenie:

Kolko existuje prirodzenych cisel $n$ s nasledujucimi vlastnostiami:
a, $n$ je delitelne cislom 210
b, v kanonickom rozklade cisla $n$ je sucet cinitelov rovny 24?

Vobec neviem ako zacat, prosim o pomoc, dakujem.

ttt_ · 24. 02. 2015 22:30

Podla bodu a) cislo $n$ ma tvar: $n=210m=2^{\alpha_1}3^{\alpha_2}5^{\alpha_3}7^{\alpha_4}{p_1}^{\beta_1}{p_2}^{\beta_2}\ldots{p_r}^{\beta_r}$
podla bodu b) plati: $24=2^{\alpha_1}+3^{\alpha_2}+5^{\alpha_3}+7^{\alpha_4}+{p_1}^{\beta_1}+{p_2}^{\beta_2}+\ldots+{p_r}^{\beta_r}$

Kvoli delitelnosti $210|n$ plati, ze $\alpha_i\geq1$ pre $i=1,2,3,4$
Takze minimalna hodnota suctu je $2^{1}+3^{1}+5^{1}+7^{1}+0=17$
Vieme, ze $\forall p_i\geq 11$ , kde $i=1,\ldots,r$
Kedze $24-17=7$ tak to znamena, ze v kanonickom rozklade nemozeme mat ziadne $p_i$ , kedze ich hodnota je $>7$ .
Dalej: $\alpha_3=1$ , $\alpha_4=1$ , kedze napriklad $5^2$ alebo $7^2$ uz by aj samostatne presahovali hodnotu $24$ .

$24=2^{\alpha_1}+3^{\alpha_2}+5^{1}+7^{1}$
$12=2^{\alpha_1}+3^{\alpha_2}$

Musis najst $\alpha_1=?$ a $\alpha_2=?$
Taketo cisla neexistuju!

Dufam, ze som pocital dobre :)

byk7 · 25. 02. 2015 03:22

↑ ttt_:

Jak přesně se definuje kanonický rozklad?
Podle mě totiž $2\cdot3\cdot5\cdot7^2=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot7\Rightarrow2+3+5+7+7=24$ .
To stejné pak platí i o číslech $2^2\cdot3\cdot5^2\cdot7$ a $2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7$ .

geovektor1 · 25. 02. 2015 11:08

ja si myslim ze byk7 pojal definiciu kanonickeho rozkladu presnejsie, v prvom pripade nebude ziadne riesenie a to mi nesedi pretoze tato uloha je z ucebnice, ktoru nam profak doporucil na prednaske a naznacil ze to bude mat riesenie.

Matematické Fórum

#1 24. 02. 2015 20:00

Kolko existuje takych cisel ze ...

#2 24. 02. 2015 22:30

Re: Kolko existuje takych cisel ze ...

#3 25. 02. 2015 03:22

Re: Kolko existuje takych cisel ze ...

#4 25. 02. 2015 11:08

Re: Kolko existuje takych cisel ze ...

Zápatí