Matematické Fórum

casey · 13. 03. 2009 15:28

Zdravim! Opakuju si k maturite a narazila sem na priklad, s kterym si nevim rady. Tak prosim o pomoc

Diky moc

lukaszh

↑ casey:
Toto je príklad z prijímačiek na FMFI z roku 2007, tak tu máš jeho celé riešenie aj s bodovaním:-)
http://fmph.uniba.sk/fileadmin/user_upl … A_Ries.pdf

KarlikIV · 15. 03. 2009 17:03

Mám za ukol spočitat tyto přiklady, ale nevim jak. Pomuzete prosim?

1.) 4 \sqrt{2 na 5-7x v exponentu} = \sqrt{2} * \sqrt[3]{4 na 3-5x v exponentu}

2.) 3 (9^2x + 1) = 9^x+2 + 9^x-1

KarlikIV · 15. 03. 2009 17:07

Mám za ukol spočitat tyto přiklady, ale nevim jak. Pomuzete prosim?

1.) 4 odmocnina ze 2 na 5-7x = odmocnina ze 2 * treti odmocnina ze 4 na 3-5x

2.) 3* (9 na 2x v exponentu + 1) = 9 na x+2 + 9 na x-1 v exponentu

chtěl jsem to napsat v tom Texu ale neumim to:D

gadgetka

$\sqrt[4]{{2^{5-7x}}} = \sqrt{2*\sqrt[3]{4^{3-5x}}}\nl2^{\frac{5-7x}{4}}=2^{\frac{1}{2}}*((2^2)^{\frac{3-5x}{3}})^{\frac{1}{2}}\nl2^{\frac{5-7x}{4}}=2^{\frac{1}{2}}*2^{2*\frac{3-5x}{3}*\frac{1}{2}}\nl\frac{5-7x}{4}=\frac{1}{2}+\frac{3-5x}{3}$ /*12

$3*(5-7x)=6+4*(3-5x)\nl15-21x=6+12-20x\nl-3=x$

nebo?

$4\sqrt{{2^{5-7x}}} = \sqrt{2*\sqrt[3]{4^{3-5x}}}\nl2^2*2^{\frac{5-7x}{2}}=2^{\frac{1}{2}}*2^{2*\frac{3-5x}{3}*\frac{1}{2}}\nl2+\frac{5-7x}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3-5x}{3}$ /*6

$12+3*(5-7x)=3+2*(3-5x)\nl12+15-21x=3+6-10x\nl18=11x\nlx=\frac{18}{11}$

Chrpa · 15. 03. 2009 20:07

↑ KarlikIV:
$3\cdot 9^{2x+1}=9^{x+2}+9^{x-1}\nl27\cdot 9^{2x}=81\cdot 9^{x}+\frac{9^x}{9}\nl243\cdot 9^{2x}=729\cdot 9^x+9^x\nl243\cdot 9^{2x}=9^x(729+1)\nl9^x=\frac{730}{243}\nlx\cdot\log\,9=\log\,730-\log\,243\nlx=\frac{\log\,730-\log\,243}{\log\,9}\,\approx\,0,500624$

KarlikIV · 15. 03. 2009 20:14

Jo díky,ale u tá jednicky jsem to blbě napsal není to treti odmocnina ale 4 krát odmocnina a u dvojky je jenom 2x v exponentu,ta jednicka je normalni cislo...ale díky,já už si s tím nějak poradím:)

KarlikIV · 15. 03. 2009 20:30

Můžu se zeptat jaktože u té jedničky v tom druhým příkladě jak je tam 4 krát odmocnina máš v třetím řádku najednou 2 + zlomek? Když jsi měla předtím pořád krát? :)

KarlikIV · 15. 03. 2009 20:34

Chrpa: Ten příklad vůbec nechápu. Nešlo by k tomu napsat nějaký vysvětlení prosím? Absilutně se v tom ztrácím a nedokážu to pochopit.

Chrpa · 15. 03. 2009 20:55 — Editoval Chrpa (15. 03. 2009 21:17)

↑ KarlikIV:
$3\cdot 9^{2x+1}=3\cdot 9^1\cdot 9^{2x}=27\cdot 9^{2x}$
$9^{x+2}=9^2\cdot 9^x=81\cdot 9^x$
$9^{x-1}=\frac{9^x}{9}$ protože $9^{-1}=\frac 19$ takže dostáváme:
$27\cdot 9^{2x}=81\cdot 9^x+\frac{9^x}{9}$ teď celou rovnici vynásobíme číslem 9 a zbavíme se zlomku tj:
$243\cdot 9^{2x}=729\cdot 9^x+ 9^x$ na pravé straně rovnice vytkneme výraz: $9^x$ a dostaneme:
$243\cdot 9^{2x}=9^x(729+1)$ Nyní to můžeme zkrátit výrazem $9^x$ protože:
$243\cdot 9^{2x}=243\cdot 9^x\cdot 9^x$ tedy dostáváme:
$243\cdot 9^x=729+1$ čili další úpravou dojdeme k tomuto:
$9^x=\frac{730}{243}$ tuto rovnici zlogaritmujeme a dostaneme:
$x\cdot\log\,9=\log\left(\frac{730}{243}\right)$ Platí, že logaritmus podílu je roven rozdílu logaritmů tj:
$\log\left(\frac{730}{243}\right)=\log\,730-\log\,243$ Teď z celé rovnice vyjádříme neznámou x tj:

$x=\frac{\log\,730-\log\,243}{\log\,9}$ dokonce by se to dalo upravit ještě takto:
$x=\frac{\log\,730}{\log\,9}-2,5$ protože:
$\log\,243=\log\,3^5=5\cdot\log\,3$ a
$\log\,9=\log\,3^2=2\log\,3$

gadgetka · 15. 03. 2009 21:34

KarlikIV napsal(a):
Můžu se zeptat jaktože u té jedničky v tom druhým příkladě jak je tam 4 krát odmocnina máš v třetím řádku najednou 2 + zlomek? Když jsi měla předtím pořád krát? :)

rovnici jsem upravila tak, aby byl všude stejný základ, tj. dvojka, při součinu mocnin se exponenty sčítají, čili to, na co se mě ptáš, je už počítání s exponenty

marnes · 16. 03. 2009 12:50 — Editoval marnes (16. 03. 2009 12:50)

↑ Chrpa:Zdravím. Já jen k tvému dělení výrazem 9^x. Obecně by jsme takto dělit neměli, přišli by jsme o kořen, ne? Sice v tomto příkladě to na výsledek vliv nemělo. Přikládám své řešení, jak podle mého tyto příklady řešit. Zbytek je OK

musixx · 16. 03. 2009 13:14 — Editoval musixx (16. 03. 2009 13:20)

↑ marnes: Nepřišli. Kdykoli můžeš vydělit nenulovým číslem (v případě nerovnic číslem kladným - jinak se navíc mění nerovnost). No a exponenciální funkce není nikdy nulová.

EDIT: zpřesnění $a^x\neq0$ pro $a\neq0$ , příp. $b^x>0$ pro $b>0$ v $\mathbb R$ pro tu kombinaci a,b,x, kde je mocnina definována (v $\mathbb R$ - pro jednoduchost, což běžně pro SŠ stačí).

marnes · 16. 03. 2009 13:26

↑ musixx:↑ musixx:
jj, děkuji, já mám myšlenky někde jinde, diskutoval jsem situaci, když by tam byl i absolutní člen, ale tam by se nedělilo. Omlouvám se a děkuji:-)

Matematické Fórum

#1 13. 03. 2009 15:28

exponencialni rovnice

#2 13. 03. 2009 16:18 — Editoval lukaszh (13. 03. 2009 16:19)

Re: exponencialni rovnice

#3 15. 03. 2009 17:03

Re: exponencialni rovnice

#4 15. 03. 2009 17:07

Re: exponencialni rovnice

#5 15. 03. 2009 18:18 — Editoval gadgetka (15. 03. 2009 18:27)

Re: exponencialni rovnice

#6 15. 03. 2009 20:07

Re: exponencialni rovnice

#7 15. 03. 2009 20:14

Re: exponencialni rovnice

#8 15. 03. 2009 20:30

Re: exponencialni rovnice

#9 15. 03. 2009 20:34

Re: exponencialni rovnice

#10 15. 03. 2009 20:55 — Editoval Chrpa (15. 03. 2009 21:17)

Re: exponencialni rovnice

#11 15. 03. 2009 21:34

Re: exponencialni rovnice

KarlikIV napsal(a):

#12 16. 03. 2009 12:50 — Editoval marnes (16. 03. 2009 12:50)

Re: exponencialni rovnice

#13 16. 03. 2009 13:14 — Editoval musixx (16. 03. 2009 13:20)

Re: exponencialni rovnice

#14 16. 03. 2009 13:26

Re: exponencialni rovnice

Zápatí