Matematické Fórum

byk7 · 25. 02. 2015 22:48 — Editoval byk7 (25. 02. 2015 23:08)

Mějme kuželosečku $Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$ , kde $AC<B^2$ a
$\det\begin{pmatrix} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F \end{pmatrix}\neq0$
(jde tedy o hyperbolu). Jak odtud určím asymptoty?

vanok · 26. 02. 2015 05:42

Ahoj ↑ byk7:,
Mozne riesenie.
Akoze si v euklidovskej rovine, mozes sa "zbavit" clenu z "xy".
Potom studium tvojej kuzelosecky bude o mnoho jednoduchsie.

Rumburak

↑ byk7:, ↑ vanok:

Zdravím. Jiný způsob - podle následující věty:

Přímka o rovnici

(1) $p(x, y) = 0$

je asymptotou hyperboly o rovnici

(2) $h(x, y) = 0$

právě tehdy, když soustava (1),(2) není řešitelná (ani) v oboru komplexních čísel.

byk7 · 26. 02. 2015 11:05

↑ vanok:

To bych musel otáčet souřadnicemi, a to se mi nechce.

↑ Rumburak:

Díky, ale...

1) proč to nemůže mít řešení ani v C? Chápu, že kdybychom se omezili pouze na R, tak může být přímka, která je např. rovnoběžná s osou neprotínající hyperbolu a je "dostatečně blízko" této ose. Ale spojitost s komplexními čísly nevidím.

2) Znamená to tedy, že dosazení z (1) do (2) dostanu něco jako $k=0$ kde $k\neq0$ ? (Snad je to jasné :D )

Rumburak

↑ byk7:

Je-li (1) rovnicí asymptoty, pak dosazením z (1) do (2) vypadnou OBĚ neznámé a vznikne neplatná rovnost - tedy spor.
Ostatní přímky nemající s hyperbolou společné body vedou tímto způsobem ke kvadratické rovnici se záporným diskriminantem,
která má imaginární kořeny.
Přímka rovnoběžná s asymptotou avšak různá od ní vede k lineární rovnici (jeden průsečík s byperbolou).
Případy sečny mající s hyperbolou dva průsečíky a tečny jsou natolik známy, že jistě není třeba je zde rozebírat.

Příklady:

Asymptotami hyperboly o rovnici $xy = 1$ jsou přímky o rovnicích $x = 0$ resp. $y = 0$ , takže jejich společnou
rovnicí je $xy = 0$ .

Asymptotami hyperboly o rovnici $x^2 - y^2 = 1$ jsou přímky o rovnicích $y = x$ resp. $y = -x$ , takže jejich
společnou rovnicí je $x^2 - y^2 = 0$ .

zdenek1 · 26. 02. 2015 16:29

↑ byk7:
pokud se dobře pamatuju, tak rovnice asymptot k hyperbole
$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$
by měla být rovnice
$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey=0$

Freedy · 26. 02. 2015 17:19 — Editoval Freedy (26. 02. 2015 17:19)

zdenek1 napsal(a):
by měla být rovnice
$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey=0$

Jak může rovnice asymptoty obsahovat kvadratické členy?

zdenek1 · 26. 02. 2015 17:30

↑ Freedy:
snadno, v mé větě je množné číslo.
A přečti si příspěvek #5

byk7 · 01. 03. 2015 17:56 — Editoval byk7 (01. 03. 2015 17:56)

↑ zdenek1:

Pokud je rovnice $Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey=0$ rovnicí asymptot, pak by měla existovat reálné koeficienty splňující $(\alpha x+\beta y+\gamma)(\delta x+\varepsilon y+\varphi)=0$ (rozložení první rovnice na součin). Jenže po roznásobení a porovnání koeficientů dostávám, že $\gamma\varphi=0$ , tj. alespoň jedna z asymptot musí procházet počátkem, což ale není pravda. Takže, kde je v mé úvaze chyba?

jarrro · 02. 03. 2015 10:30 — Editoval jarrro (02. 03. 2015 10:30)

čo sa asymtôt týka tak absolútny člen ich nezmení teda je potrebné nájsť také k ,aby
$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+k=0$
určovalo dve priamky tie budú potom asymptoty

vanok · 02. 03. 2015 11:39 — Editoval vanok (02. 03. 2015 11:39)

Ahoj ↑ byk7:,
A ako postupujes aby si vyjadril centrum ( symetrie) tvojej koniky ( hyperboly)?

byk7 · 02. 03. 2015 14:44

↑ jarrro:

Což je díky determinantu lineární rovnice. Díky.

↑ vanok:

Ano, to je jedna možnost, najít střed $S$ , asymptotické směry $\overrightarrow{s_1},\overrightarrow{s_2}$ a asymptoty jsou potom přímky
$a_1:X=S+t\cdot\overrightarrow{s_1}, a_2:X=S+t\cdot\overrightarrow{s_2}$ ,
ale je to postup, který vyžaduje z mého pohledu poněkud rozvláčný postup.
Jde mi prostě o to, že dostanu rovnici hyperboly a pár nějakými manipulacemi
z toho ty rovnice asymptot vypadnou. :-)

Rumburak

↑ byk7:

Mně stále připadá, že metoda navržená v ↑ Rumburak: je technicky nejjednodušší:

Aspoň jedna z asymptot bude mít rovnici tvaru $y = kx + q$ . Takto vyjádřené $y$ dosadíme do rovnice hyperboly.
Vzikne tak rovnice tvaru $F(x, k, q) = 0$ , kde $F$ je polynom v proměnné $x$ nejvýše 2. stupně v závislosti
na parametrech $k, q$ , jejichž hodnoty hledáme takové, aby stupeň polynomu $F$ byl 0.

Obdobně s asymptotou o rovnici $x = ry + s$ , bude-li to ještě potřeba.

byk7 · 18. 03. 2015 16:30

↑ Rumburak:

Jak tak zhodnocuji, tak asi ano, tvoje řešení je nejjednodušší.
Ale pořád mi uniká ta spojitost mezi algebrou a geometrií. Tj.
(1) žádné řešení -> asymptota,
(2) neryze reálné řešení -> přímka, která nemá společný bod a není asymptotou.

Jak toto vysvětlit? Děkuji.

vanok · 18. 03. 2015 18:00

Ahoj ↑ byk7:,
Tu si precitaj https://books.google.fr/books?id=Epy9CA … mp;f=false
od strany 477. Paci sa ti to?

Rumburak

↑ byk7:

Dá se na to přijít následovně.

Mějme pevně dánu hyperbolu $h$ a nenulový (třeba jednotkový) vektor $\vec{m}$ .
Uvažujme dále množinu $M$ všech přímek s normálovým vektorem $\vec{m}$ .
Nechť

(1) $H(x, y) = 0$

je rovnice hyperboly $h$ a

(2) $\vec{m}\cdot (x, y) = d$

rovnice přímky $p \in M$ . Parametr $d$ určuje posunutí přímky ve směru její normály.
Hledat společné body obou těchto geometrických útvarů znamená řešit soustavu rovnic (1), (2). Dosazením
z (2) do (1) vznikne obecně rovnice stupně nejvýše 2 s neznámou buďto $x$ nebo $y$ , pří čemž tento stupeň
závisí na hodnotě parametru $d$ a samozřejmě i na vektoru $\vec{m}$ .

V konkretní situaci tedy může vzniknout

1. kvadratická rovnice, o jejíž řešitelnosti vypovídá její diskriminant $D$ ;

2. lineární rovnice mající jediné řešení (jde o přímky, které hyperbolu protínají a jsou rpvnoběžné s některou
její asymptotou);

3. rovnost neobsahující neznámou - jde ovšem o rovnost neplatnou (kdyby platila, znamenalo by to, že
hyperbola je totožná s přímkou, což zřejmě není).

Naznačme důkaz, že situace z bodu 1 se záporným diskriminantem nevede k asymptotě: Diskriminant $D$ je
spojitou funkcí parametru $d$ a je-li $D(d) < 0$ pro některou hodnotu $d$ , potom její malou změnou se znaménko
diskriminantu nezmění, takže ani pak bychom nedostalil průsečík, zatímco sebemenší posunutí asymptoty ve
směru její normály k průsečíku vede.

Asymptotu tedy dává právě situace 3.

vanok · 20. 03. 2015 13:41 — Editoval vanok (20. 03. 2015 13:43)

Ahoj
Akoze geometricke metody, co je vlastne prirodzena cesta na tvoju otazku, sa ti nema il, prikladam ti este metodu vdaka analyze.
Poloz
$y=Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F$
Potom
$\frac {dy}{dx}= 2Ax+ 2By+2By\frac {dy}{dx}+2Cy\frac {dy}{dy}+2D+2E\frac {dy}{dx}$
Odtial jednoducho vyjadri $\frac{dy}{dx }$ ( smerovy koef)
z prvej relacie vyjadri $y$ .
Na koniec pouzi relaciu ( limita taka, ze...) na urcenie asymptoty.

Mozno si hladal toto, ale opakujem geometricka cesta sa mi viac paci.

Matematické Fórum

#1 25. 02. 2015 22:48 — Editoval byk7 (25. 02. 2015 23:08)

Asymptoty

#2 26. 02. 2015 05:42

Re: Asymptoty

#3 26. 02. 2015 09:52 — Editoval Rumburak (26. 02. 2015 10:00)

Re: Asymptoty

#4 26. 02. 2015 11:05

Re: Asymptoty

#5 26. 02. 2015 12:36 — Editoval Rumburak (02. 03. 2015 10:41)

Re: Asymptoty

#6 26. 02. 2015 16:29

Re: Asymptoty

#7 26. 02. 2015 17:19 — Editoval Freedy (26. 02. 2015 17:19)

Re: Asymptoty

zdenek1 napsal(a):

#8 26. 02. 2015 17:30

Re: Asymptoty

#9 01. 03. 2015 17:56 — Editoval byk7 (01. 03. 2015 17:56)

Re: Asymptoty

#10 02. 03. 2015 10:30 — Editoval jarrro (02. 03. 2015 10:30)

Re: Asymptoty

#11 02. 03. 2015 11:39 — Editoval vanok (02. 03. 2015 11:39)

Re: Asymptoty

#12 02. 03. 2015 14:44

Re: Asymptoty

#13 02. 03. 2015 15:25 — Editoval Rumburak (02. 03. 2015 15:35)

Re: Asymptoty

#14 18. 03. 2015 16:30

Re: Asymptoty

#15 18. 03. 2015 18:00

Re: Asymptoty

#16 19. 03. 2015 12:57 — Editoval Rumburak (20. 03. 2015 14:40)

Re: Asymptoty

#17 20. 03. 2015 13:41 — Editoval vanok (20. 03. 2015 13:43)

Re: Asymptoty

Zápatí