Matematické Fórum

Kolega siezed tady zadal další příklad:

seized napsal(a):

Dakujem pekne, uz sme nato prisli v skole so spoluziakom a presne tento postup bol ucinny ( kludne nahraj par papierov mna zaujima postup a nie vysledok ;) ) a kebyze nasiel som este takuto limitu a tiez je celkom zaujimava a mam problem na nu prist


vysledok ma byt []

A já odpovídám: Evidentně se v tom skrývá limita
, a to dokonce několikrát.
Opět to vyřešíme vhodným rozšířením. Nejprve se podívám, že v čitateli mám až na argument vnějšího cosinu čitatel z té známé limity, tedy doplním jmenovatel, což musí být to, co v té známé limitě hraje roli y, a to navíc na druhou. Tedy doplním . Ale tím, že to potřebuju do jmenovatele, tak jsem si tzv. půjčil, tedy musím hned zase vrátit, tj. přidat to i do čitatele.

Vsuvka: Mimochodem doporučuji takovéhle úpravy dělat bez symbolu . Úpravy se stejně týkají argumentu limity a symbol limity akorát protahuje zápis a třeba při písemce zdržuje. Raději upravuji argument a limitu na něj pustím až po úpravách.

Takže, poté rozbijeme zlomek na součin tří zlomků

a vypustíme limitu na každý zlomek zvlášť větou o limitě součinu (připomínám, že její použití je dokončeno až dojitím ke smysluplnému výsledku), v případě prvního zlomku budeme muset ještě použít VLSF, což projde s tím, že vnitřní funkce 1 - cos x je v dostatečně malém okolí bodu x (např. s poloměrem okolí pí/2 :-) ) rostoucí resp. klesající pro x < 0 resp. x > 0 (pozor, alternativní podmínka o spojitosti vnější funkce neprojde kvůli její nedefinovanosti, a tedy nespojitosti v x = 0).

No a to vše nám dá součin tří polovin, což je kýžený výsledek. Je to vlastně podobné jako předtím na uváděném odkaze - vidím náznak známé limity, tak tam přidám to, co mi tam chybí, ale hned to zas vrátím, a během toho zjistím, že to vrácené se mi hodí k zbytku z toho prvního, kvůli čemu jsem tam něco doplňoval.