Matematické Fórum

geovektor1 · 26. 02. 2015 22:09

Ahoj, dnes som len tak z nudy pozeral toto video: https://www.youtube.com/watch?v=xnBFfeoYjpw
a zaujal ma vztah, ktory tam pan doktorand Novotny prezentuje ako vzorec pre vypocet odmocniny lubovolneho cisla: $x/a + a/2x$ kde $a$ je cislo, ktoreho odmocninu chceme zistit a $x$ je lubovolne cislo ktore dosadime, moja otazka je - ozaj to plati? prave som si dosadil cislo 3, dostal som vztah: $x/3 + 3/2x$ a ked dosadim za $x$ cislo 10 vzorec nekonverguje ale naopak diverguje, stretli ste sa s tym uz niekto? Budem vdacny za kazdu radu. :)

jarrro · 26. 02. 2015 23:06 — Editoval jarrro (27. 02. 2015 01:20)

skôr $x/\color{red}2\color{black} + a/2x$
a platí to pre akékoľvek počiatočné kladné x teda pre každé kladné x postupnosť
$x_1=x\nl x_{n+1}=\frac{\frac{a}{x_n}+x_{n}}{2}$
postupnosť konverguje ku odmocnine z a
pretože ak konverguje ku číslu l tak pre to l musí platiť
$l=\frac{\frac{a}{l}+l}{2}\nl 2l=\frac{a}{l}+l\nl l=\frac{a}{l}\nl l^2=a\nl \left|l\right|=\sqrt{a}$
lenže postupnosť má kladné členy teda nemôže konvergovať k zápornému číslu teda
$l=\sqrt{a}$
ale
$t \begin{cases} < \frac{\frac{a}{t}+t}{2} & \text{ ak }t< \sqrt{a}\\ = \frac{\frac{a}{t}+t}{2} & \text{ ak }t= \sqrt{a}\\ > \frac{\frac{a}{t}+t}{2} & \text{ ak }t> \sqrt{a} \end{cases}$
ale pre každé t (kladne) je
$\frac{\frac{a}{t}+t}{2}\geq \sqrt{a}$
teda aspoň od druhého indexu bude daná postupnosť nerastúca