Matematické Fórum

Ananas96 · 25. 02. 2015 13:40

Dobrý den, v knížce od V. Jarníka jsem narazila na příklad, kde mám dokázat $\frac{a}{b}=a*\frac{1}{b}$ . Bohužel se mi to nedaří upravit, protože jediné, conz minulých vět "znám", a co má něco společného se zlomkem je: jestliže bx=a, pak existuje takové x, že $x =\frac{a}{b}$ . Děkuji za odpověď.

byk7 · 25. 02. 2015 13:49

Nešlo by rovnici bx=a vynásobit číslem 1/b? Pak by přece
$x=\frac1b\cdot bx=\frac1b\cdot a$ , ale z předpokladu taky máš, že $x=\frac ab$ .

Rumburak · 25. 02. 2015 14:16

↑ Ananas96:

Zdravím.

Důkaz bude záviset na tom, jak je teorie čísel budována a na jakém stupni budování teorie se nacházíme.
Pohlížime-li na rovnost $\frac{a}{b}=a\cdot\frac{1}{b}$ jako na větu v teorii reálných čísel, kterou chceme dokázat z axiomatiky
přirozených čísel, pak celý důkaz bude dosti obsáhlý.

Ananas96 · 25. 02. 2015 14:35

dukaz je z kapitoly o aritmetice realnych cisel a znam vlastne jen zakladni operace scitani a odcitani... Proto si myslim, ze zlomek nemuzu nasobit, jelikoz nevim, jak s nim pracovat.

Ananas96 · 25. 02. 2015 15:14

V dalsim prikladu ale je navod, at celou rovnici vynasobim b a take se tam nachazi zlomek... Jde mi jen o to, zda rovnici mohu nebo nemohu nasobit treba zlomkem nebo nejakym cislem.

Eratosthenes · 25. 02. 2015 22:25

↑ Ananas96:

Já bych řekl, že je to celkem jednoduché:

Přímo z definice jedničky je

$\frac{a}{b}=\frac{a*1}{1*b}$

Z definice násobení racionálnch čísel je

$\frac{a*1}{1*b}=\frac a 1 * \frac 1 b$

a opět z definice jedničky

$\frac a 1 * \frac 1 b=a * \frac 1 b$

Ananas96 · 26. 02. 2015 07:06

Nejde o to, že by mě nic nenapadlo, jak to provést, ale nejsem si jistá, jestli už znám násobení racionálních čísel, protože o tom se tam nic nepíše... každopádně děkuji :)

Rumburak · 26. 02. 2015 09:36

↑ Ananas96:

Napiš nějaký srozumitelný odkaz na příslušné místo v Jarníkově knize - podívám se do ní, abych zjistil,
co přesně se má dokázat a za jakých předpokladů.

Ananas96 · 26. 02. 2015 10:12

http://m.ulozto.cz/xZyG8d5/vojtech-jarn … cet-i-pdf. Jediné, co jsem našla je tento odkaz ke stažení. Na straně 23, 24 jsou uvedeny věty o násobeni, na strane 25 pak cvičení 3. Děkuji moc!

Rumburak · 26. 02. 2015 10:55

↑ Ananas96:

Jarníka si stahovat nepotřebuji, neb ho mám doma, kam se večer snad dostanu.
Jde-li tedy o to vyřešit cv. 3 na str. 25 v D1, podívám se na to a zítra odpovím.

Ananas96 · 26. 02. 2015 17:36

V tom případě jde tedy o cvičení na straně 14, číslování stránek jsem brala z toho pdf. souboru. Tak tedy strana 14. cvičení 3.

Eratosthenes · 26. 02. 2015 19:15

↑ Ananas96:

Je to tvrzení o racionálních (popř. reálných číslech). TAkže minimálně racionální čísla musejí být zavedena. A součástí definice racionálních čísel jsou všechny základní operace a vlastnosti nuly a jedničky.

Ananas96 · 26. 02. 2015 20:07

Jsou zavedena racionální čísla... bx=a, pak existuje takové x, které se rovná podílu $\frac{a}{b}$ , ale to je vše, nikde se nepíše o operaci s nimi... proto si nejsem jistá, jestli vím, jak mezi sebou dva zlomky např. násobit, atd... násobení mezi čísly a,b je samozřejmě zavedeno...

Rumburak

↑ Ananas96:

Ahoj. Takže:

Příslušný úsek Jarnikovy knihy, do něhož spadá ono cvičení, se zabývá pouze racionálními čísly a základními
aritmetickými operacemi s nimi - prozatím bez zřetele k relaci uspořádání. Přitom se vychází z poznazků, které
jsou vysloveny jako věty 1, ..., 10. Tyto věty zde nejsou dokazovány, tj. hrají úlohu AXIOMŮ a nutno mít o nich
přehled. (Náročnější zálemce by si mohl přát nějakou elementárnější axiomatickou soustavu, v níž by věty 1-10
byly dokazatelné - takovému jsou později nabídnuty odkazy na další literaturu.)

Věta 10 vypovídá o jenoznačné řešitelnosti rovnice

(1) $bx = a$ ,

kde $a, b$ jsou daná (racionální) čísla taková, že $b \ne 0$ . Kořen rovnice (1) je tedy jednoznačně určen uspořádanou
dvojicí $(a, b)$ těchto čísel a je pro něj zaveden symbol $\frac{a}{b}$ . Zkráceně to můžeme (za výše uvedených předpokladů
o $a, b$ ) zapsat formulí

$x = \frac{a}{b} \Leftrightarrow bx = a$ .

Speciálně pro $a = 1$ :

(2) $y = \frac{1}{b} \Leftrightarrow by = 1$ .

Máme-li dokázat, že navíc $a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}$ , pak vzhledem k větě 10 stačí ověřit, že číslo $a \cdot \frac{1}{b}$ je kořenem rovnice (1).
Ověříme to pomocí zkoušky dosazením do rovnice (1). Její levá strana pro $x = a \cdot \frac{1}{b}$ bude

$L := bx = b \cdot $a \cdot \frac{1}{b}$$ .

pomocí komutativního a asociatvního zákona pro násobení (viz naše "axiomatická soustava" vět 1- 10) postupně
dostáváme

$L = b \cdot $\frac{1}{b} \cdot a$ = $b \cdot \frac{1}{b}$\cdot a$ .

Podle (2) pak $L = 1 \cdot a = a$ . Zkouška dosazením vyšla, požadovaný důkaz je tím hotov.

Ananas96 · 27. 02. 2015 11:46

Moc děkuji, strašně jste mi pomohl! :)

Ananas96 · 27. 02. 2015 12:43

Mohla bych ještě něco?... Zkoušela jsem i to cvičení pod tím, tak jen jestli byste se podíval, zda jsem uvažovala správně. Má se dokázat $\frac{a}{b}=0$ , platí tehdy a jen tehdy, je-li a=0. Je tam rada: vynásobte obě strany b. Vynásobila jsem a vyšlo mi $b*\frac{a}{b}=0*b$ . 0*b už vím, že je nula a za $\frac{a}{b}$ jsem si dosadila x, z rovnosti (bx=a). Z příkladu 1, už vím, že když se a*b=0, přičemž b se nerovná nule, tak a musí být nula... Tzn. x=a/b=0... Šlo by to tak? Omlouvám se za své polopatické myšlení, ale lépe to vysvětlit asi neumím.

Rumburak

↑ Ananas96:

"Polopatické" myšlení má v matematice své důležité místo, ale je potřeba ho správně uspořádat.

Za předpokladu, že $a, b$ jsou racionální čísla a $b \ne 0$ , chceme dokázat , že

$\frac{a}{b}=0$ tehdy a jen tehdy, když $a = 0$ ,

neboli

$\frac{a}{b}=0 \Leftrightarrow a = 0$

(zápisem pomocí logických spojek se výrok zpřehlední). Jak víme z logiky, ekvivalence $A \Leftrightarrow B$
výroků $A, B$ znamená, že je splněna implikace $A \Rightarrow B$ a zároveň též implikace $B \Rightarrow A$ .
Máme tedy za úkol dokázat (za výše uvedených předpokladů) každou z implikací

(1) $\frac{a}{b}=0 \Rightarrow a = 0$ ,

(2) $a = 0 \Rightarrow \frac{a}{b}=0$ .

Celý důkaz se tedy bude skládat z těchto dvou na sobě nezávislých částí. tVýrok (2) při tom můžeme rovnou
zapsat v jednodušším tvaru

(2') $\frac{0}{b}=0$

a dokazovat ten. Opět máme k disposici věty 1, ..., 10 a k tomu všechno, co se nám už podařilo z nich dokázat.

Stačí tato nápověda ?

Ananas96 · 27. 02. 2015 15:23

No nevím, trochu se v tom ztrácím, takže to co jsem napsala nejde vůbec použít?

Rumburak · 02. 03. 2015 09:58

↑ Ananas96:
To, co jsi napsala (většinou si zde tykáme), se dá použít, ale není to celé, protože jsi dokázala pouze imlikaci
$\frac{a}{b}=0 \Rightarrow a = 0$ (předpokládala jsi, že platí $\frac{a}{b}=0$ , tuto rovnost jsi vynásobila číslem $b \ne 0$ atd.).
Máš tam ovšem jednu chybu - proměnnou $a$ jsi použila ve dvou různých významech.

Chybí důkaz obrácené implikace - i když je také velmi jednoduchý, opomíjet ho bychom neměli.

Ananas96 · 02. 03. 2015 11:28

A šlo by to takhle...? $\frac{a}{b}=0$ vynásobím *b.... $b*\frac{a}{b}=0*b$ pote z předchozího příkladu vím, že $a*\frac{1}{b}=\frac{a}{b}$ , tzn. $a*b*\frac{1}{b}=0$ . Z b*1=b vím, že $\frac{b}{b}=1$ , takže a*1=0, tzn. a=0.

Ananas96 · 02. 03. 2015 11:47

+ to,co uź jsem dokazala predtim.

Rumburak

↑ Ananas96:

Opět mi připadá, že jsi vyšla z předpokladu $\frac{a}{b}=0$ a došla jsi k $a=0$ , nebo je v tom nějaký zmatek.

Při důkazu obrácené implikace máš vyjít z předpokladu $a=0$ a ukázat, že $\frac{a}{b}=0$ .

Celý důkaz bych pojal například takto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Ananas96 · 02. 03. 2015 13:16

Dobře, to jsem pochopila, ale přijde mi to moc složité, šlo by to takto? Vyjdeme z rovnice bx=a a předpokládáme a=0, tzn. bx=0 a z věty devět víme, že se součin rovná nule, pokud je alespoň jeden z činitelů roven nule, a předpokládáme, že b se nerovná nule... Tzn x=a/b=0.

Rumburak

↑ Ananas96:

Ano, tím je dokázána implikace $a = 0 \Rightarrow \frac{a}{b}=0$ (avšak pouze tato implikace).

Myšlenky matematického důkazu musí být formulovány naprosto přesně, aby nedávaly prostor k nějakým
nesprávným představám. Tyto snahy mohou u čtenáře "nematematika" vyvolávat dojem, že některá formulace
je zbytečně složitá. Ale je lepší, když je složitá, než kdyby byla v zájmu jednoduchosti neúplná.

Ananas96 · 02. 03. 2015 14:05

Dobře, díky za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 25. 02. 2015 13:40

důkaz

#2 25. 02. 2015 13:49

Re: důkaz

#3 25. 02. 2015 14:16

Re: důkaz

#4 25. 02. 2015 14:35

Re: důkaz

#5 25. 02. 2015 15:14

Re: důkaz

#6 25. 02. 2015 22:25

Re: důkaz

#7 26. 02. 2015 07:06

Re: důkaz

#8 26. 02. 2015 09:36

Re: důkaz

#9 26. 02. 2015 10:12

Re: důkaz

#10 26. 02. 2015 10:55

Re: důkaz

#11 26. 02. 2015 17:36

Re: důkaz

#12 26. 02. 2015 19:15

Re: důkaz

#13 26. 02. 2015 20:07

Re: důkaz

#14 27. 02. 2015 11:13 — Editoval Rumburak (27. 02. 2015 11:16)

Re: důkaz

#15 27. 02. 2015 11:46

Re: důkaz

#16 27. 02. 2015 12:43

Re: důkaz

#17 27. 02. 2015 13:48 — Editoval Rumburak (27. 02. 2015 15:03)

Re: důkaz

#18 27. 02. 2015 15:23

Re: důkaz

#19 02. 03. 2015 09:58

Re: důkaz

#20 02. 03. 2015 11:28

Re: důkaz

#21 02. 03. 2015 11:47

Re: důkaz

#22 02. 03. 2015 12:46 — Editoval Rumburak (02. 03. 2015 12:48)

Re: důkaz

#23 02. 03. 2015 13:16

Re: důkaz

#24 02. 03. 2015 13:59 — Editoval Rumburak (02. 03. 2015 14:15)

Re: důkaz

#25 02. 03. 2015 14:05

Re: důkaz

Zápatí