Matematické Fórum

smOke · 20. 01. 2008 11:36

Zdravim jeste jednou vsechny studenty a zkusene matematiky, chtel bych Vas poprosit o pomoc i s timto typem prikladu.

Tečna k funkci zadané implicitně x = 0, y = 1, 0 = e^(2xy) + 4x^2 + y^2

Napiste rovnici tecny ke krivce dane implicitni rovnici y = f(x), e^xy - x^2 - y^2 = 0, x=0, y=1

Pokud by nejaky profesional mohl napsat postup reseni a vysledek moc by mi to pomohlo a verim, ze i dalsim co se treba ted ci v budoucnu trapi pred zkouskou s Matematickou Analyzou 3.

Dekuji mockrat!

plisna · 20. 01. 2008 12:18

prvni priklad: $e^{2xy}+4x^2+y^2=0$ , zderivovano: $2e^{2xy}(y+xy')+8x+2y\cdot y'= 0$ a vyjadrena derivace: $y' = \frac{-2y\,e^{2xy}-8x}{2x\,e^{2xy}+2y}$ , hodnota prvni derivace v bode [0, 1] je y' = -1, nasledne tecna $y=-x+1$ . analogicky druhy priklad.

smOke · 20. 01. 2008 16:31

Diky moc!

petra12 · 21. 08. 2008 22:39

Ahoj, potřebovala bych prosím vypočítat tento příklad. Vůbec nevim, jak na něj. Díky moc.

Nech? t je taková tečna ke grafu fce ln (3-x^2), která s osou x svírá úhel 45° a protíná ji v její záporné části. Vzdálenost této tečny t od bodu [4; ln 2] je rovna:

Jorica · 21. 08. 2008 23:09

↑ petra12:

Zkusim nasmerovat. Hledame tecnu k zadane funkci f(x). Nezname bod dotyku $T=[x_0; y_0]$ , ale zname sklon tečny. Z vyjadreni "která s osou x svírá úhel 45° a protíná ji v její záporné části" lze rozkodovat, ze smernice hledane tecny k = tan 45° = 1.

Soucasne vime, ze tato smernice tecny k je derivaci zadane funkce v bode dotyku $T=[x_0; y_0]$ . Takze najdes derivaci zadane funkce v bode $x_0$ , tj. $f^'(x_0)=-\frac{2x_0}{3-x_0^2}$ a polozis ji rovnu 1. Dopocitas x-ovou souradnici prozatim neznameho bodu dotyku, tj. $x_0$ . Reseni vede na kvadratickou rovnici, ale jedno reseni je mimo definicni obor zadane funkce f(x) (to si promysli nebo se zeptej, rozvedu). Vyhovuje proto jen jedna hodnota $x_0=-1$ .

Tim mas to nejhorsi za sebou. Vypoctes ze zadane funkce druhou souradnici bodu dotyku, tj. $y_0$ . Dosazenim do vzorce pro tecnu: $t: y-y_0=f^'(x_0)(x-x_0)$ najdes jeji rovnici a ze vzorce pro vzdalenost bodu od primky v rovine najdes pozadovanou vzdalenost.

Jak rikam, je to jen nasmerovani, pokud se s necim budes trapit, napis. Nebo napis prubezne, k cemu ses dopocitala.

Olin · 21. 08. 2008 23:13

Jestliže tečna svírá s osou x úhel 45°, má směrnici 1 (možná by mohla mít i -1, v tomto je trochu nepořádek). A jak víme, směrnice tečny je derivace, proto funkci zderivujeme.

$f(x) = \ln(3-x^2) \; D(f) = (-\sqrt 3;\, \sqrt3)\nl f'(x) = \frac{1}{3-x^2}\cdot(3-x^2)' = \frac{2x}{x^2-3}$

Hledáme rovnici tečny t, takže najdeme bod, kterým prochází (to je bod, kde se dotýká grafu fce a má zadanou směrnici).

$\frac{2x}{x^2-3} = 1\nl 2x = x^2 - 3\nl x^2 - 2x - 3 = 0\nl (x + 1)(x - 3) = 0\nl x = -1$

Vzali jsme pouze jeden kořen, protože druhý nenáleží do definičního oboru zadané funkce. Dosazením získaného kořene do funkce zjistíme bod, ve kterém se tečna dotýká - je to [-1; ln 2].

Tečna má tedy rovnici

$x - y + 1 + \ln 2 = 0$

Vzdálenost od bodu určíme pomocí známého vzorce jako

$|A, t| = \frac{|4 - \ln 2 + 1 + \ln 2|}{\sqrt 2} = \frac{5\sqrt 2}{2}$

Jorica · 21. 08. 2008 23:22

↑ Olin:
Zdravim....lip bych to nenapsala ;-) Vyslo mi to stejne, snad bude tazatelka spokojena.

Olin · 22. 08. 2008 00:03

↑ Jorica:
Rovněž zdravím… Jen bych asi měl krotit svůj zlozvyk poskytovat celá řešení.

Katka1088 · 16. 03. 2009 17:46

Zdravím, potřebuji zase pomoc, prosím

Najděte úhel mezi osou x a tečnou ke grafu funkce f(x)=5xe^(-2) v bodě x=1

Spočítala jsem si derivaci v bodě 1 a vyšlo mi F´(1)=-5e^(-2), dál už nevím, jak pokračovat

jelena · 16. 03. 2009 21:19

↑ Katka1088:

Zdravím :-)

je tato funkce skutečně zadána takto:

$f(x)=5xe^{(-2)}$ ?

Pak by to byla lineární funkce a tangens (úhlu mezi osou x a tečnou ke grafu) = 5e^(-2)

(uhel mezi osou...) = arctg (5e^(-2))

Případně upřesní zadání.

Katka1088 · 17. 03. 2009 08:11

↑ jelena:

skoro tak je ta funkce, u mínus na druhou je ještě x

f(x)=5xe^(-2x)

jelena · 17. 03. 2009 13:19

$f^{\prime}(1)=-5e^{(-2)}$ je to v pořádku pro funkci, jak je zadana,

a je potřeba použit geometrický význam derivace - směrnice tečny (tg uhlu mezi osou x a tecnou k funkci v zadanem bodě:

(v tomto případě je hodnota tg záporna, bude to uhel v intervalu (90, 180).

Hodnota uhlu se najde jako (180 - arctg(5e^(-2)).

OK?

Katka1088 · 17. 03. 2009 18:28

↑ jelena:

je možný teda, že mi vyšlo přibližně 142 stupňů? neumím si ten graf nakreslit, tak asi mi vyšla blbost

jelena · 17. 03. 2009 19:56

↑ Katka1088:

Možné to je - nekontrolovala jsem sice hodnotu, ale v rozmezi (90, 180) to je - tedy OK:

graf a tečna v bode =1 asi tak:

http://forum.matweb.cz/upload/433-katka.jpg

OK?

Katka1088 · 17. 03. 2009 19:59

↑ jelena:

Moc děkuji:)

Matematické Fórum

#1 20. 01. 2008 11:36

Tečna k funkci

#2 20. 01. 2008 12:18

Re: Tečna k funkci

#3 20. 01. 2008 16:31

Re: Tečna k funkci

#4 21. 08. 2008 22:39

Re: Tečna k funkci

#5 21. 08. 2008 23:09

Re: Tečna k funkci

#6 21. 08. 2008 23:13

Re: Tečna k funkci

#7 21. 08. 2008 23:22

Re: Tečna k funkci

#8 22. 08. 2008 00:03

Re: Tečna k funkci

#9 16. 03. 2009 17:46

Re: Tečna k funkci

#10 16. 03. 2009 21:19

Re: Tečna k funkci

#11 17. 03. 2009 08:11

Re: Tečna k funkci

#12 17. 03. 2009 13:19

Re: Tečna k funkci

#13 17. 03. 2009 18:28

Re: Tečna k funkci

#14 17. 03. 2009 19:56

Re: Tečna k funkci

#15 17. 03. 2009 19:59

Re: Tečna k funkci

Zápatí