Matematické Fórum

Vickey · 28. 02. 2015 15:19

Je dán bod A [2;4] a přímka p: x - 2y + 1 =0. Určete na přímce p bod R tak, aby přímky AR a p měly odchylku $\pi/4$ .

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-02/33154_Odchylka%2Bp%25C5%2599%25C3%25ADmek.jpg

Takže mi asi nedochází nějaká důležitá věc, proto prosím o nasměrování.

Děkuji

gadgetka · 28. 02. 2015 16:07

Např. můžeš vyjít z odchylky přímek:
Hledáš přímku q, máš zadaný bod, kterým prochází A[2;4] a musíš najít normálový vektor této přímky $\vec{n_q}=(n_1;n_2 )$ . O přímce q víš, že se zadanou přímkou a svírá úhel φ=45°.
Dosadíš:
$\cos{45°} =\frac{|(1; -2)\cdot (n_1; n_2)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}\cdot \sqrt{{n_1}^2+{n_2}^2}}$

Vzhledem k tomu, že máš dvě neznámé, tak je v tomto okamžiku příklad neřešitelný. Je potřeba nějakým způsobem vyjádřit alespoň jednu souřadnici normálového vektoru. Přímka q má nekonečně mnoho normálových vektorů. Vybereme například takový, který má x-ovou souřadnici rovnou 1 (pokud nejsou normálové vektory svislé $\vec{n}=(0; k)$ , určitě je jeden z vektorů s x-ovou souřadnicí rovnou 1 normálovým vektorem přímky q).

Dosadíš a po úpravě dostaneš:
$\sqrt{10}\cdot \sqrt{1+{n_2}^2}=2|1-2n_2|$

Rovnici umocni na druhou a dostaneš dva kořeny a tím dvě přímky.

Pak už jen uděláš průsečík(y) s přímkou p a získáš bod(y) R.

Vickey · 28. 02. 2015 16:18

↑ gadgetka:
Díky za vysvětlení, už vím jak na to, ale řekni mi prosím, jak si jen tak můžu vyjádřit jednu souřadnici normálového vektoru? To nechápu

gadgetka · 28. 02. 2015 16:34

Vickey, prostě to tak jde. :) Normálových vektorů stejně jako směrových k dané přímce je nekonečně mnoho, tak proč toho nevyužít, když to dopomůže k vyřešení problému... ;)

Určitě existuje i nějaký další způsob řešení, třeba někdo přispěje i se svou "trochou do mlýna." ;)

Vickey · 28. 02. 2015 16:35

↑ gadgetka:

Dobře, dobře, tak děkuji za pomoc :)

misaH · 28. 02. 2015 16:59 — Editoval misaH (28. 02. 2015 17:01)

↑ Vickey:

Stačí si uvedomiť, že body priamky $p$ majú súradnice $[x;0,5x+0,5]$ , teda takéto súradnice má aj bod $R$ .

Stačí dosadiť do vzťahu pre $\cos 45°$ .

Zapísať vektor $A-R=\vec u$ .

Vektor $\vec v$ je smerový vektor priamky $p$ , teda vektor $(2;1)$ kolmý k normálovému vektoru priamky p.