Matematické Fórum

Aquabellla · 01. 03. 2015 16:25

Dobré nedělní odpoledne přeji :-)

Zadání: Najdi všechny přípustné extremály pro úlohu minimalizace $\min \int_0^1 (y'^2 + x^2)dx$ za podmínek $\int_0^1 y^2 dx = 2$ a $y(0) = 0 = y(1)$ .

Isoperimetrická úloha se řeší například pomocí Lagrangeových multiplikátorů: $L = \int_0^1 (y'^2 + x^2 - \lambda y^2)dx + 2 \lambda$
Eulerova rovnice obecně: $F_{y} = \frac{d}{dx} F_{y'}$
Použijeme Eulerovu rovnici na integrand funkce L: $F(x, y, y') = y'^2 + x^2 - \lambda y^2$ .
$F_{y} = -2 \lambda y$ , $F_{y'} = 2y'$ , $\frac{d}{dx} F_{y'} = 2 y''$
Eulerova rovnice pro naši úlohu: $2y'' = -2 \lambda y \Rightarrow y'' + \lambda y = 0$ - toto je LDR 2. řádu. Příslušná charakteristická rovnice: $s^2 + \lambda = 0 \Rightarrow s = \pm \sqrt{-\lambda}$ .
a) $\lambda > 0: s = \pm i \sqrt{\lambda}: y(x) = A \cos(\sqrt{\lambda}x) + B \sin(\sqrt{\lambda}x)$
Okrajové podmínky: $y(0) = 0 = A$ , $y(1) = 0 = B \sin(\sqrt{\lambda})$
Isoperimetrické omezení: $2 = \int_0^1 y^2 dx$
b) $\lambda < 0: s = \pm \sqrt{\lambda}: y(x) = A e^{\sqrt{\lambda}x} + B e^{- \sqrt{\lambda} x}$
Okrajové podmínky: $y(0) = 0 = A + B$ , $y(1) = 0 = A e^{\sqrt{\lambda}} - A e^{- \sqrt{\lambda}} = 2A \text{ sinh}(\sqrt{\lambda})$
Isoperimetrické omezení: $2 = \int_0^1 y^2 dx$

A moje otázka zní: Jak příklad dokončit? Řešení má být $y(x) = \pm 2 \sin(\pi x)$ , ale nedaří se mi k němu dostat ani zdaleka.
Předem děkuji za každou radu!

Jj · 02. 03. 2015 09:14

↑ Aquabellla:

Dobrý den.

Možná vyjít z úvahy (pro lambda > 0):

Řekl bych, že funkce $y=B \sin(\sqrt{\lambda}x)$ splňuje okrajovou podmínku v bodě x = 1 pro $\sqrt{\lambda} x=n\pi x$ pro celé n.

Takže zkusit určit konstanty v $y = B \sin(n\pi x)$ z isoperimetrického omezení.

Druhé řešení zřejmě okrajovou podmínku pro x = 1 nesplní.

Aquabellla · 02. 03. 2015 14:23

↑ Jj:

Děkuji moc! Teď už se mi podařilo dopracovat k výsledku :-)

Matematické Fórum

#1 01. 03. 2015 16:25

Variační počet - Isoperimetrická úloha

#2 02. 03. 2015 09:14

Re: Variační počet - Isoperimetrická úloha

#3 02. 03. 2015 14:23

Re: Variační počet - Isoperimetrická úloha

Zápatí