Matematické Fórum

Tomas5 · 02. 03. 2015 22:40 — Editoval Tomas5 (02. 03. 2015 22:42)

Dobrý den,
nevím si rady s určením mezí u trojného integrálu z oblasti ohraničené množinami $x^{2}+y^{2}\le \frac{1}{4}z^2$ a $0\le z\le c$ . . Mám to špatně, ale pořád mi to tak vychází. Chtěl bych se zeptat, které meze jsou špatně a proč. Děkuji za pomoc.

Rumburak · 03. 03. 2015 10:27

↑ Tomas5:

Ahoj.

1. Pro vícenásobné integrály používáš poněkud netradiční zápis, který je bohužel málo přehledný.
Mělo by platit

$\int_a^b \int_c^d \int_e^f ... \d z \d y \d x := \int_a^b \[\int_c^d $\int_e^f ... \d z$ \d y \]\d x$

- koukni se do Jarníka (I2).

2. Ke Tvé úloze:

Integrujeme přes těleso

$T_c = \{[x, y, z] \in \mathbb{R}^3 : 0\le z\le c \wedge x^{2}+y^{2}\le \frac{1}{4}z^2 \}$ ,

takže jasná bude "vnější" integrace podle $z$ :

$I := \iiint_{T_c} ... \d z \d y \d x = \int_0^c \[\iint_{K(z)} ... \d y \d x \] \d z = \int_0^c \iint_{K(z)} ... \d y \d x \d z$ ,

kde $K(z) := \{[x, y] \in \mathbb{R}^2 : x^{2}+y^{2}\le \frac{1}{4}z^2\}$ .

Na dvojný integrál přes tento kruh by se mohla hodit substituce do polárních souřadnic, ale pokud bychom chtěli
z nějakých důvodů použít Fubiniovu větu přímo, bude

$\iint_{K(z)} ... \d y \d x = \int_{-\frac{1}{2} z}^{\frac{1}{2} z}\int_{-\sqrt{\frac{1}{4} z^2 - x^2}}^{\sqrt{\frac{1}{4} z^2 - x^2}} ... \d y \d x$ .

Takže až na ten problém s pořadím intagrací to máš, zdá se, dobře.