Matematické Fórum

Levissima · 05. 03. 2015 15:33

Zravím, prosím o radu s následujícím důkazem:

Užitím věty o dělení se zbytkem v Z, dokažte větu: Každé racionální číslo p/q je součtem celého čísla c a racionálního čísla a/q, pro něž platí, že je větší nebo rovno nule, ale menší než jedna (a přitom čísla c a a jsou jednoznačně určena).

Předem děkuji za jakoukoliv radu.

Rumburak

Také zdravím .

O racionálním čísle

(1) $\frac{p}{q}$

s celými čísly $q \ne 0, p$ nejprve předpokládejme, že $p \ge 0, q > 0$ .
Co dostaneme, když ve zlomku (1) provedeme dělení se zbytkem naznačené zlomkovou čarou ?

Levissima · 05. 03. 2015 16:15

↑ Rumburak:

Dostanu nějaké celé číslo a zbytek, v podstatě ten tvar, o kterém mluví ta věta.

Rumburak · 05. 03. 2015 16:25

↑ Levissima:

Ano. Dostaneme celé číslo $c$ a zbytek $z \in \{0, 1, ..., q-1\}$ , při čemž bude splněno $p = cq + z$ .
To můžeme dosadit (za $p$ ) do zlomku $\frac{p}{q}$ , takže $\frac{p}{q} = \frac{cq + z}{q}$ . Teď už by mohlo být jasné, co s tím dál. :-)

Levissima · 05. 03. 2015 16:32

↑ Rumburak:

Rozložím si na zlomky a zkrátím. A protože ten zbytek je v množině $z \in \{0, 1, ..., q-1\}$ , tak když ho vydělím q, tak dostanu vždy číslo menší než jedna. Je to tak?

Rumburak

↑ Levissima:

Ano, je to tak. Tudíž pro nezáporná rac. č. jsme tvrzení věty dokázali.
Zbývá dokázat ho i pro záporná. Snažil bych se nějak to napasovat na dosavadní výsledek.

Levissima · 05. 03. 2015 16:43

↑ Rumburak:

Super, pokusím se. Děkuji moc.

Matematické Fórum

#1 05. 03. 2015 15:33

Aritmetika - důkaz věty

#2 05. 03. 2015 15:55 — Editoval Rumburak (05. 03. 2015 16:12)

Re: Aritmetika - důkaz věty

#3 05. 03. 2015 16:15

Re: Aritmetika - důkaz věty

#4 05. 03. 2015 16:25

Re: Aritmetika - důkaz věty

#5 05. 03. 2015 16:32

Re: Aritmetika - důkaz věty

#6 05. 03. 2015 16:39 — Editoval Rumburak (05. 03. 2015 16:40)

Re: Aritmetika - důkaz věty

#7 05. 03. 2015 16:43

Re: Aritmetika - důkaz věty

Zápatí