Matematické Fórum

Chicken · 29. 12. 2007 18:40

Zdravím. Mohla by mně nějaká dobrá duše vysvětlit na jednoduchých příkladech jako třeba 2^(n-1) <= n! nebo třeba když pro každé celé číslo n >= 4 platí 3^n > n^3. Nějak jsem matematickou indukci nepochopil a teď jsem z toho špatnej. Děkuji moc

sneakfast

$2^{(n-1)} \le n!$

pro n = 1 to plati:

$2^{(1-1)} \le 1!$

protoze

$2^{(1-1)} = 1$
$1! = 1$
$1 \le 1$

ted dokazu, ze pokud to plati pro n, pak to plati pro n + 1

$2^{((n+1)-1)} = 2^n$
$2^n = 2\cdot2^{(n-1)}$

$(n+1)! = (n+1)\cdot n!$

musi platit $2\cdot2^{(n-1)} \le (n+1)\cdot n!$
plati $2^{(n-1)} \le n!$
cili musi platit, ze $2 \le (n+1)$ , coz plati pro vsechna n.

ale z toho postupu nemusi byt zjevne, jak ta indukce vubec funguje.
zkratka kdyz potrebuju neco dokazat pro vsechna prirozena cisla, trvalo by moc dlouho ukazovat u jednoho po druhem, ze to doopravdy funguje. tak ukazu, ze to funguje treba u prvniho.
potom nastava slozita uvaha. musim dokazat, ze pokud to plati pro cislo N, tak to bude platit i pro cislo N+1. cili pokud to plati pro dvojku, tak to bude fungovat i pro trojku, pokud to plati pro sedmicku, tak to bude platit i pro osmicku. pokud to plati pro 1000000, bude to platit pro 1000001. dejme tomu, ze se mi to povedlo dokazat.
vzhledem k tomu, ze to plati pro jednicku, plati to i pro dvojku. vzhledem k tomu, ze to plati pro dvojku, plati to i pro trojku. vzhledem k tomu, ze to plati pro trojku, plati to i pro ctyrku. vzhledem k tomu, ze to plati pro ctyrku, plati to i pro petku. takhle muzu pokracovat :)

a jak jsem to pouzil primo u tohoto prikladu? pro jednicku jsem dosadil do te nerovnosti, a nerovnost platila. takze pro jednicku jsem dokazal.
potom jsem vzal tu nerovnost a misto N jsem napsal N+1. vznikla nova nerovnost, se kterou jsem si nevedel rady. v tomhle okamziku se chce podivat zpatky na zadani a zkusit z nove vznikleho vzorce pro N+1 vypreparovat ten stary(pro N). kdyz se to povede, tak mame skoro vyhrano. o vzorci pro N jsme predpokladali, ze plati. pokud neplati, tak se ted zaseknu, protoze mi vyjde neco, co nema smysl. pokud doopravdy plati, jako v nasem priklade, vetsinou uz je trivialni to dokazat.