Matematické Fórum

Denisator

Zdravim,
vyslo mi ze x = -1 ale nieje to spravne riesenie,

Dakujem

Blizzy · 16. 03. 2009 17:22 — Editoval Blizzy (16. 03. 2009 17:25)

zlogaritmuješ obě strany:
$\frac{1}{x}\log\frac{\sqrt{2}}{3} = \log \frac {9}{2}\nl x = \frac{\log\frac{\sqrt{2}}{3}}{\log \frac {9}{2}}$

EDIT: nebo ještě líp:
$\frac{1}{x}\log_{\frac{\sqrt{2}}{3} }\frac{\sqrt{2}}{3} = \log_{\frac{\sqrt{2}}{3} } \frac {9}{2}\nl x = \frac{\log_{\frac{\sqrt{2}}{3} }\frac{\sqrt{2}}{3}}{\log_{\frac{\sqrt{2}}{3} } \frac {9}{2}} \nl x = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

Pavel Brožek · 16. 03. 2009 17:24

↑ Denisator:

Uprav si obě strany tak, abys měl stejný základ.

Nebo postupuj tak, jak píše Blizzy, ale na konci to ještě uprav, x vyjde racionální číslo.

gadgetka · 16. 03. 2009 17:27

$(\frac{\sqrt{2}}{3})^{\frac{1}{x}}=\frac{9}{2}$ umocníme obě strany rovnice na druhou

$(\frac{{2}}{9})^{\frac{1}{x}}=((\frac{2}{9})^{2})^{-1}\nl\frac{1}{x}=-2$ $x\ne\{0}$

$1=-2x\nl x=-\frac{1}{2}$

O.o · 16. 03. 2009 17:33 — Editoval O.o (16. 03. 2009 17:39)

↑ Denisator:

Ahoj .-),

myslím, že rovnice má smysl např. pro x=-1/2, nevím jestli jsou možné další x, ale vzhledem k absenci přesného zadání to nejspíš postačí ;).

Já jsem to řešil jen takovou úvahou (jde zrovna o jednoduchý příklad, kde je vše vidět), ale přepíši ti to do texu:

$\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{\frac{1}{x}}=\frac{9}{2} \nl$

Podíval jsem se, kdy by se mi tak obě strany mohli rovnat, tak nejprve bych potřeboval prohodit čísla ve zlomku, tedy:

$\left(\frac{3^{-1}}{2^{(-\frac{1}{2})}}\right)$

Dále potřebuji v čitateli devítku a ve jmenovateli jednotku, jak na to? Tak devítku mohu napsat jako tři na druhou, čirou náhodou vyzkouším rovnou jestli nebude dojvka fungovat i jako další exponent pro tu odmocninu:

$\left(\frac{3^{-2}}{2^{(-1)}}\right)$

Čísla se mi už náhodou shodují, tak mohu soudit, že jedním možným řešením bude takový exponent, který bude dávat číslo mínus dva, tedy:

$\frac{1}{x}=-2 \ \Rightarrow \ x=-\frac{1}{2}; \ x\ne0$

Zpětně dosadím a prověřím:

$\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{\frac{1}{x}}=\frac{9}{2} \nl \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{\frac{1}{-\frac{1}{2}}}=\frac{9}{2} \nl \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{-2}=\frac{9}{2} \nl \frac{3^2}{\sqrt{2}^2}=\frac{9}{2} \nl \frac{9}{2}=\frac{9}{2}$

Určitě to není matematicky korektní způsob řešení a u čehokoli méně hezkého to nebude, tak lehce, vycházet, ale do testu, když nebude co by, tak bys mohl(a) napsat řešení úvahou a uvažovat (řešení sedí, ale nemuselo by, kdyby v zadání bylo, abys našel(a) všechna x pro která platí tato rovnice!) ;-).

Jinak asi jednodušší nebo rychlejší způsob by byl logaritmováním (když nevíš co s expon. rovnicí, tak logaritmuj a upravuj), jinak nejlepší je, když to jde urpavit na společný základ (což se tady vlastně dalo .-)).

EDIT: Jsem rád, že se s gadgetkou shodujeme ve výsledku =)

Denisator · 16. 03. 2009 23:31

Dakujem, za velmi pekne vypocty, naozaj mi pomohli. Ja som sa skor snazil prisposobit pravu stranu na spolocny zaklad. Dik

halogan · 17. 03. 2009 14:36

↑ Denisator:

Jak jsi v NSZ dopadl? :)

Mám kdyžtak vypracovaný příklady 3, 4, 6, 7, kdybys nevěděl nějaký z nich.

musixx · 17. 03. 2009 15:10 — Editoval musixx (17. 03. 2009 15:13)

↑ O.o: Souhlasím, že jedno řešení je v podstatě vidět bez počítání - když se výraz v závorce umocní na druhou, tak máme převrácenou hodnotu zlomku vpravo, tedy proto musí být exponent roven -2, neboli x=-1/2.

Doplním, že víc řešení existovat nemůže: vlevo je to exponenciála, tedy funkce všude ryze monotónní (podle základu je buď pořád rostoucí nebo pořád klesající), vpravo je to konstanta, tedy horizontální přímka. Tyto dva grafy se proto mohou protnout nejvýše v jednom bodě.

Denisator · 17. 03. 2009 19:55

↑ halogan:Ahoj:) No ziadna slava, ale nabuduce to bude uz na 100:) Ty robis tiez ? Alebo len tak hobby:) ? Ak mas nieco kludne posli, budem vdacny:) Na mail alebo ako chces, Zatial Dik

halogan · 17. 03. 2009 20:21

↑ Denisator:

Jasný, dělám to kvůli škole. Dopadlo mi to snad dobře. Na mail pošlu.

Denisator · 17. 03. 2009 20:45

↑ halogan:Tak to ani nepochybujem ze ti to dopadlo dobre:D tu ti to ide celkom fajn. A na aku skolu sa pripravujes ?

halogan · 17. 03. 2009 21:16

↑ Denisator:
Jako ty, FSV UK, IES.

Matematické Fórum

#1 16. 03. 2009 16:54 — Editoval Denisator (16. 03. 2009 16:55)

Exponencialna rovnica

#2 16. 03. 2009 17:22 — Editoval Blizzy (16. 03. 2009 17:25)

Re: Exponencialna rovnica

#3 16. 03. 2009 17:24

Re: Exponencialna rovnica

#4 16. 03. 2009 17:27

Re: Exponencialna rovnica

#5 16. 03. 2009 17:33 — Editoval O.o (16. 03. 2009 17:39)

Re: Exponencialna rovnica

#6 16. 03. 2009 23:31

Re: Exponencialna rovnica

#7 17. 03. 2009 14:36

Re: Exponencialna rovnica

#8 17. 03. 2009 15:10 — Editoval musixx (17. 03. 2009 15:13)

Re: Exponencialna rovnica

#9 17. 03. 2009 19:55

Re: Exponencialna rovnica

#10 17. 03. 2009 20:21

Re: Exponencialna rovnica

#11 17. 03. 2009 20:45

Re: Exponencialna rovnica

#12 17. 03. 2009 21:16

Re: Exponencialna rovnica

Zápatí