Matematické Fórum

Katka1988 · 10. 03. 2015 15:55

Ahoj mám takový dotaz, ohledně výrazu, respektive jeho vzniku.

Vím, že první derivace dráhy podle času je rychlost a vím, že druhá derivace dráhy podle času je zrychlení, ale nevím jak se na to přišlo?

Vím, že se vychází ze vztahů

$v=\frac{ds}{dt}$ a $a=\frac{dv}{dt}$

ale chtela bych vedet jak na to prisli?Ze z ceho vychazeli?

Brzls · 10. 03. 2015 16:05 — Editoval Brzls (10. 03. 2015 16:05)

↑ Katka1988:

Tak pro začátek se hodí vědět co je to průměrná rychlost a co je to derivace (ne jak se to počítá, ale co to je). Dále je celkem rozumné považovat okamžitou rychlost za rychlost průměrnou na velmi malém intervalu. Ideálně nekonečně malému - no a to je přece derivace.

To je velmi neformálně řečeno (nechtělo se mi to rozepisovat dopodrobna). Celý ten myšlenkový postup je popsán zde na prvních pár stránkách.

http://fyzikalniolympiada.cz/texty/dif.pdf

Je to určené pro druháky na gymplu, tak by to snad mělo být srozumitelné. Kdyby si v tom textu něčemu nerozuměla, stačí se zeptat.

Katka1988 · 10. 03. 2015 16:21

Tohle jsem cetla, a ty matematicke postupy chapu, ale neresi tam muj problem, jak z niceho prijdu na to, ze druha derivace drahy podle casu je zrychleni vis jak to myslim :-)

Chapu co je prumerna hodnota, okamzita hodnota, derivace - priblizovani se k hodnote pomoci podilu diferencí (rozdilu) napriklad u rychlosti ds/dt a v podstate se priblizuji po bodech k aproximaci funkce pomoci primecek a ze kdyz stoupa, tak je derivace kladna a naopak zaporna atd. Chapu, ze se podle casu se priblizuji v tom grafu vpodstate stale dopredu a bod po bodu jakoby se priblizuji te fukci, ale nejde mi do hlavy, jak proste odvodim to, z hlavy, ze druha derivace drahy podle casu je zrychleni, ja vim par tehle terminu a k tomu mam prirazeno co to je, ale kdyby mi nekdo rekl treba neco co neznam derivace neceho podle neceho tak nevim co to je jakoby, neumim si to odvodit vis jak to myslim :-)

Katka1988 · 10. 03. 2015 16:37

Uz mi to doslo :-) ja jsem blbá ja jsem na to koukala blbe, ja jsem to brala jako ten vzorec, ze se derivuje na dvakrat, kdezto on se derivuje ten vysledek pouze, moje blbost, omlouvam se :D jsem blbá

brano jako prvni derivace, derivuji tedy drahu podle casu, ziskam v
ds/dt = v
brano jako druha derivace, derivuji rychlost podle casu a ziskam a
dv/dt = a

ja jsem na to koukala naopak .... moje blbost :D dekuji

Brzls · 10. 03. 2015 16:46 — Editoval Brzls (10. 03. 2015 16:49)

↑ Katka1988:

Upřímně nejsem si jistý co tim myslíš :)

Tak začni tim, že si uvědom co ty veličiny mají znamenat.

Tak vezmeme třeba to zrychlení. Začneme s průměrným zrychlením.
1. Co je to průměrné zrychlení? To nám říká, o kolik se změní rychlost za nějaký čas. Pokud se mi během pěti sekund zvedne rychlost ze tří metrů za sekundu na pět metrů za sekundu, tak zrychlení bude a=(5-3)/(5-0)

2. Jak to zapsat matematicky? V čase t1 mám rychlost v1 a v čase t2 rychlost v2. Zrychlení je tím pádem
$a=\frac{v_{2}-v_{1}}{t_{2}-t_{1}}$
To jsme nijak "neodvodili". To tak prostě je, my jsme si takhle to průměrné zrychlení ZADEFINOVALI.

Teď už víme co je to průměrné zrychlení.
Nyní předpokládejme, že známe závislost rychlosti na čase $v_{(t)}$
1. Ptáme se jaká je průměrné zrychlení například na intervalu mezi 1 a 5 sekundou.

je to $a_{15}=\frac{v(5)-v(1)}{5-1}$

2. Teď nás zajímá jaké je obecně průměrné zrychlení mezi časy t1 a t2
je to
$a=\frac{v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}$

Teď můžeme postoupit k okamžitému zrychlení. My zatím nevím co je to okamžité zrychlení. My nemůžeme nijak dokázat že to je derivace něčeho. Nicméně můžeme si to tak DEFINOVAT. Důležité je pochopit proč jsme to tak udělali.

1. Co by to asi tak mohlo být okamžité zrychlení? Teď uděláme naprosto stejný myšlenkový postup jako je v tom textu u té rychlosti. Řekneme, že okamžité zrychlení bude "něco jako" změna rychlosti za velmi krátký časový úsek
tedy $a=\frac{v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}$ kde t2-t1 je velmi malé. To není moc přesná definice, je potřeba vylepšit. Uděláme to tak, že řekneme že okamžité zrychlení bude změna rychlosti za nekonečně malý časový úsek, tedy že $a(t_{1})=\lim_{t_{2}\to t_{1}}\frac{v_{(t_{2})}-v_{(t_{1})}}{t_{2}-t_{1}}$

No jo, jenže vidíme, že ta limita je definice derivace v(t) podle t.
Nemůžeš nijak dokázat, že zrychlení je zrovna derivace rychlosti podle času. Tak je to prostě definované. Můžeš se akorát snažit pochopit proč je to tak definované.
Jestli pořád nechápeš, proč je zrychlení definováno tak jak je definováno, prosím uveď konkrétní bod tohoto postupu, který nechápeš proč tak je. Alespoň tak jsem pochopil tvůj problém - že nevíš proč to tak je.

Edit: ok jestli je to tedy jasné tak tím líp

Matematické Fórum

#1 10. 03. 2015 15:55

druhá derivace dráhy podle času - zrychlení

#2 10. 03. 2015 16:05 — Editoval Brzls (10. 03. 2015 16:05)

Re: druhá derivace dráhy podle času - zrychlení

#3 10. 03. 2015 16:21

Re: druhá derivace dráhy podle času - zrychlení

#4 10. 03. 2015 16:37

Re: druhá derivace dráhy podle času - zrychlení

#5 10. 03. 2015 16:46 — Editoval Brzls (10. 03. 2015 16:49)

Re: druhá derivace dráhy podle času - zrychlení

Zápatí