Matematické Fórum

OmarCruss · 10. 03. 2015 08:59

Zdravim, vedeli by ste mi pomôcť s takýmto príkladom?

Objekt ktorý má absolvovať medziplanetárny let musí na Zemi získať 2. kozmickú rýchlosť 11,2 km/s. Ak by sme objekt nechali padať voľným pádom cez tunel idúci stredom Zeme, potom by stačilo motory zapnúť až keď objekt prechádza stredom Zeme a udeliť mu len rýchlosť v<11,2 km/s. Vypočítajte rýchlosť v, ak predpokladáme v tuneli vákum.

Jj · 11. 03. 2015 10:12

↑ OmarCruss:

Dobrý den. Nápověda:

Na těleso v uvedeném tunelu ve vzdálenosti 'r' od středu Země gravitačně působí jen hmotnost koule o poloměru 'r'.
Vyšel bych z průměrné hustoty zeměkoule (ró), uvedená hmotnost by pak měla být

$M_r = \varrho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$ ,
takže zrychlení tělesa ve vzdálenosti r od středu Země bude $\ddot{r} = -\frac{\varkappa \cdot M_r}{r^2}=-\frac{4\varkappa \varrho}{3}\cdot r$ vždy ve směru k jejímu středu.

$\Rightarrow \ddot{r} + \frac{4\varkappa \varrho}{3}\cdot r=0\Rightarrow \ddot{r}+\omega^2r=0$

Těleso vykonává v tunelu kmitavý pohyb kolem středu Země o kruhové frekvenci 'omega' (a max. výchylce = poloměru Země).

zdenek1 · 11. 03. 2015 12:52

↑ OmarCruss:
Přidám ještě jeden pohled. Docela šikovné je zamyslet se nad změnami energií během celé akce.

Matematické Fórum

#1 10. 03. 2015 08:59

voľný pád

#2 11. 03. 2015 10:12

Re: voľný pád

#3 11. 03. 2015 12:52

Re: voľný pád

Zápatí