Matematické Fórum

FliegenderZirkus

Ahoj,

chtěl bych si odvodit rovnice klotoidy, tedy rovinné křivky, jejíž křivost je přímo úměrná délce oblouku od zvoleného počátku.

Řekněme, že kartézské souřadnie jsou
$\binom{x(t)}{y(t)}$ .
Dosadil jsem vzorečku na Wikipedii
$R=\frac{A^2}{L}$
za poloměr křivosti
$R(t) = \frac{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}{x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t)}$
a za délku oblouku
$L(t) = \int _0 ^t \sqrt{x'(\tau)^2+y'(\tau)^2} \ d\tau$ ,
dohromady tedy
$A^2 = \frac{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}{x'y'' - y'x''} \cdot \int _0 ^t \sqrt{x'(\tau)^2+y'(\tau)^2} \ d\tau$ .

Teď bude nejspíš potřeba argumentovat parametrizací pomocí délky oblouku, čímž se rovnice zjednodušší. Poradíte prosím jak to udělat „rigorózně“? :) Díky

Sergejevicz · 04. 03. 2015 22:59

Vím, že klotoidu (Cornuovu spirálu) parametrizují tzv. Fresnelovy (čti "Frenelovy") integrály.
Něco je třeba tady:

http://www.google.cz/url?sa=t&rct=j … mp;cad=rja

http://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral

Brano · 05. 03. 2015 13:22 — Editoval Brano (05. 03. 2015 14:16)

ja by som na to isiel takto:

najprv si mozme uvedomit, ze krivku mozeme vzdy parametrizovat jej dlzkou - $s$ (pocitanou od nejakeho bodu)
potom sa nam zjednodusi aj polomer krivosti

$R(s)=\frac{1}{|x'y''-y'x''|}$ a prava strana je $\frac{A^2}{s}$ teda mame rovnicu
$x'y''-y'x''=\frac{\pm 1}{A^2}s=2ps$ kde $p$ je nejaka nova konstanta no a este to, ze $s$ je dlzka znamena
$x'^2+y'^2=1$

oznacme si $u=x'$ a $v=y'$ cize mame dve rovnice
$uv'-vu'=2ps$ a $u^2+v^2=1$ - co nas nabada prejst k polarnym suradniciam $u(s)=r(s)\cos\varphi(s)$ a $v(s)=r(s)\sin\varphi(s)$ . dosadenim do druhej rovnice dostaneme $r=1$ a potom z prvej rovnice dostaneme
$\varphi'=2ps$ cize $\varphi = ps^2$ teda mame

$x'=\cos(ps^2)$ a $y'=\sin(ps^2)$ a teda

$x(s)=x_0+\int_0^s\cos(pt^2)dt$ a $y(s)=y_0+\int_0^s\sin(pt^2)dt$

FliegenderZirkus

Děkuju za reakce, pomohly mi. Nakonec jsem ale přeci jen použil to běžnější odvození přes vyjádření křivosti jako derivace úhlu tečného vektoru podle parametru. Pro zajímavost posílám vlastní obrázek, jak je část klotoidy použitá jako přechodnice mezi přímou železniční tratí a kružnicovým obloukem:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-03/59781_Clipboard01.png

Brano · 12. 03. 2015 16:30 — Editoval Brano (12. 03. 2015 16:36)

to je v skutocnosti (teda aspon podla mna) to iste - cela "pointa" mala byt v tom, ze pouzijes dlzku ako parameter podla ktoreho derivujes

a potom ci uz mas krivost $\left|\frac{dT}{ds}\right|$ alebo $\left|T\times\frac{dT}{ds}\right|$ je uz tak trochu jedno (to druhe co som pouzil ja sice na prvy pohlad vyzera zbytocne komplikovanejsie, ale ma to svoje vyhody) a v tomto konkretnom pripade sa mi zda ze ked sa to rozmeni na drobne, tak je obtiaznost vypoctu rovnaka

PS: obrazok je pekny, a preco vlastne v pouzivas klotoidu ako prechod, ma to nejake prakticke vyhody? aby dostredive zrychlenie narastalo linearne?

FliegenderZirkus · 12. 03. 2015 16:50

Rozumím, jj bude to nakonec velmi podobné.

Je to jak píšeš -- hlavní výhodou je odstranění nespojitosti v průběhu křivosti, a tedy i v průběhu dostředivého zrychlení. Historicky se používaly různé tvary té přechdnice, např. polynom třetího stupně. Dneska je myslím nejběžnější právě klotoida, i když existují i další modernější řešení. Druhý důvod je pak ten, že vnější kolej v oblouku bývá vůči té vnitřní vyvýšená (klopená zatáčka) a tohle vyvýšení je potřeba nějak plynule zavést, k čemuž se právě taky ta přechodnice používá.

Matematické Fórum

#1 03. 03. 2015 15:33 — Editoval FliegenderZirkus (03. 03. 2015 15:39)

Odvození rovnice klotoidy

#2 04. 03. 2015 22:59

Re: Odvození rovnice klotoidy

#3 05. 03. 2015 13:22 — Editoval Brano (05. 03. 2015 14:16)

Re: Odvození rovnice klotoidy

#4 12. 03. 2015 12:32 — Editoval FliegenderZirkus (12. 03. 2015 12:33)

Re: Odvození rovnice klotoidy

#5 12. 03. 2015 16:30 — Editoval Brano (12. 03. 2015 16:36)

Re: Odvození rovnice klotoidy

#6 12. 03. 2015 16:50

Re: Odvození rovnice klotoidy

Zápatí