Matematické Fórum

tomas janeta · 11. 03. 2015 21:10

Dobrý večer.
Neviem čo to vlastne je ,narazil som na to pri množinách ale môžu to byť asi aj grupy.
Vyzerá to napríklad takto : $Z/pZ$ ,prípadne aj v inom tvare
Ale vždy to vyzerá ako podiel množín ,čo to je ?
A toto : $E(Z/pZ)$ ?
Viem len že E je vtedy (aspoň v mojom prípade) eliptická krivka
Ďakujem.

byk7 · 11. 03. 2015 22:39

O podíl množin nejde, zkus si najít něco o okruzích (eng ring).

Co se týče té eliptické křivky, tak to znamená, že bereš jen body, jejichž souřadnice patří do té struktury, nad níž je naše křivka definována. Dost dobře si to nad tím okruhem představit nedokážu, my ve škole pracovali pouze s křivkami nad reálnými čísly nebo nad konečnými tělesy. Jestli chceš, můžu se o tom rozepsat trochu víc.

tomas janeta · 12. 03. 2015 16:29

Ďakujem ,budem rád.
Myslel som aj že to bude niečo ako množina Z okrem ale ten "menovateľ" ,neviem
O okruhoch toho ešte veľa neviem som iba na strednej

byk7 · 13. 03. 2015 22:16

Ptal jsem se profesora ohledně "podílové" notace a pochopil jsem to tak, že $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ je formálně správný zápis pro množinu $\{0,1,2,\ldots,n-2,n-1\}$ , což se často (byť po formální stránce ne úplně šťastně a správně) značí $\mathbb{Z}_n$ . Zajímavá diskuze k tomuto tématu je zde.

K dalšímu tématu, eliptickou křivkou (nad reálnými čísly) nazveme množinu $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ ;\ y^2=x^3+Ax+B\}\cup\{\mathcal O\}$ kde $4A^2+27B^3\neq0$ a $\mathcal O$ je bod v nekonečnu, je to jakási nula. Když chceš sečíst dva různé body s různou x-ovou souřadnicí, vezmeš přímku, která jimi prochází a spočítáš třetí průsečík. Ty dostaneš nějakou rovnici třetího stupně v proměnné x, ale dva její kořeny už znáš, to jsou x-ové souřadnice bodů té přímky, a tak třetí kořen lehce dopočítáš pomocí Viethových vztahů. Nakonec určíš y-ovou souřadnici, převrátíš kolem osy x a dostaneš bod, který nazveme součtem.

Tento postup nebude fungovat pokud sčítáš dva body nad sebou, dostáváš tak přímku, která je rovnoběžná s osou y a potřetí už naši křivku neprotne. Takovéto dvojici bodů tak přiřadíme jako součet $\mathcal O$ . No a pokud chceš sečíst bod sám se sebou, tak v tom bodě uděláš tečnu.

Všechny algebraické vztahy se dají lehce odvodit, můžeš si to sám zkusit, pokud někde narazíš, dej vědět. :-)

Pokud chceš vzít křivku nad nějakou podmnožinou $\mathbb{Z}$ , typicky $\mathbb{F}_p$ , narazíš na problém. Ve výpočtu směrnice $\lambda$ se totiž vyskytuje podíl $\tfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ . Ty tedy potřebuješ najít takové číslo $K\in\mathbb{F}_p\backslash\{0\}$ , které splňuje $K\cdot$x_2-x_1$\equiv1\pmod p$ . Takové $K$ existuje vždy díky tomu, že $p$ je prvočíslo a dostaneš ho následovně. Spočítáš si pomocí Euklidova algoritmu největší společný dělitel čísel $p$ a $x_2-x_1$ a pak ho vyjádříš pomocí Bezoutovy věty jako lineární kombinaci právě čísel $p$ a $x_2-x_1$ . Koeficient u sčítance $x_2-x_1$ pak právě bude hledaným číslem $K$ .

Dělit už tedy umíme i modulo p a my můžeme být šťastní, že nám vše funguje i nad takto ořezanou množinou. :-)