Matematické Fórum

malarad · 18. 03. 2015 09:06

Prosím o pomoc s příkladem:
Napište středový tvar rovnice elipsy, která má střed v počátku soustavy souřadnic, excentricitu $e=2\sqrt{2}$ a prochází bodem $M[2, \sqrt{6}]$
Jak mám začít a jak poznám, jestli je elipsa ležatá, nebo stojatá?
díky

Cheop · 18. 03. 2015 09:17 — Editoval Cheop (18. 03. 2015 09:22)

↑ malarad:
1) Protože má mít elipsa střed v počátku souřadnic, pak její rovnice bude: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
2) Pro excentricitu e elipsy platí: $a^2-b^2=e^2$
3) Víš, že elipssa prochází bodem M tedy souřadnice bodu dosaď do rovnice z bodu 1)
Dostaneš tak 2 rovnice o dvou neznámých pro a i b

malarad · 18. 03. 2015 09:27

↑ Cheop:
díky, ale ze zadání je poznat jen to, že má střed v počátku souřadnic, ale jak poznám, jestli je ležatá, nebo stojatá?
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
nebo
$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

Cheop · 18. 03. 2015 09:35 — Editoval Cheop (18. 03. 2015 09:42)

↑ malarad:
A na co to potřebuješ poznat?
Vždyť vyřeš tyto 2 rovnice:
$a^2-b^2=8\\\frac{4}{a^2}+\frac{6}{b^2}=1$
Mělo by ti vyjít:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

misaH · 18. 03. 2015 09:43 — Editoval misaH (18. 03. 2015 09:44)

Pomôže?

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=392596

malarad · 18. 03. 2015 10:14

Děkuji moc Misa a Cheop. Já nemám problém s dosazením do rovnice.
Problém byl v tom, že u ležaté elipsy to je $a^2-b^2=e^2$
a u stojaté elipsy to je $b^2-a^2=e^2$
Je důležité si uvědomit, že osa $a$ je stále vodorovná a osa $b$ je stále svislá nehledě na stojatost nebo ležatost elipsy.

Cheop · 18. 03. 2015 10:18

↑ malarad:
No já bych spíše řekl,že a je stále hlavní poloosa a b je stále vedlejší poloosa bez ohledu na to,
zda je elipsa ležatá či stojatá.

misaH · 18. 03. 2015 10:30

http://www.matweb.cz/elipsa

malarad · 18. 03. 2015 11:12

Záleží na tom, jak si kdo pojmenuje poloosy. Já zachovávám vodorovné poloosy jako $a$ a svislé značím $b$ .
Pak je to jako na obrázku v příloze, který jsem nakreslil
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-03/73487_jedin%25C3%25A1%2Belipsa.JPG

zdenek1 · 18. 03. 2015 12:26

↑ malarad:
Budeš se muset smířit s tím, že ty elipsy jsou dvě, přesně tak, jak jsi je nakreslil
$\frac{x^2}{1+\sqrt{33}}+\frac{y^2}{9+\sqrt{33}}=1$

a

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$

malarad · 20. 03. 2015 10:40

↑ zdenek1:
Jsi si jistý tímto výsledkem? $\frac{x^2}{1+\sqrt{33}}+\frac{y^2}{9+\sqrt{33}}=1$
Mně to totiž pro oba případy elipsy(stojatá i ležatá) vychází takto $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$ Viz. obrázky.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-03/44353_stojat%25C3%25A1%25C3%25AD.jpg

zdenek1 · 20. 03. 2015 11:05

↑ malarad:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-03/45939_pic.png

malarad · 20. 03. 2015 11:45

↑ zdenek1:
Ve sbírce příkladů na ČVUT je to takto:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-03/48091_rovnice%2Bjak%2Bm%25C3%25A1%2Bb%25C3%25BDt.jpg

a výsledek toho příkladu, který jsem zde dotazoval je taky jen jeden a to: $x^{2}+2y^{2}=16$
Myslím, že kdyby byly dvě možnosti výsledku, tak by tam byly oba výsledky. Ty tvrdíš něco jiného a já z toho být jelen dvanácterák.

Rumburak

↑ malarad:

V zadání úlohy se praví, že elipsa je ve středové poloze, což (přinejmenším na SŠ) znamená, že střed elipsy
je v počátku soustavy souřadnic, které jsou zároveň osami symetrie elipsy. Ale neříká se nic o tom, která
z nich je hlavní osou (tj. na které leží ohniska) a která vedlejší. Trváme-li na tradičním ozanačení $a$ pro hlavní
poloosu a $b$ pro vedlejší poloosu, potom musíme, jak jsi správně rozpoznal (↑ malarad:), uvažovat dva případy:

1. elipsu o rovnici $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (ohniska na ose x),

2. elipsu o rovnici $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$ (ohniska na ose y),

z nichž každý vede k samostatné dílší úloze, celkem tedy ke dvěma výsledkům. Principiálně tedy má pravdu
↑ zdenek1: , i když jsem to po něm nepřepočítával. Zkoušku si můžeš provést sám ověřením, zda

- každá z obou nalezených elips má danou excentricitu,

- každá z obou nalezených elips prochází bodem $M$ .

Ale nevím, zda jsem správně pochopil, co je potřeba vysvětlit.

PS. Pokud bychom připustili, že hlavní osou může být libovolná přímka procházející počátkem,
pak by úloha měla dokone nekonečně mnoho řešení. Ale takové úlohy se řeší až na VŠ.

malarad · 20. 03. 2015 15:54

↑ Rumburak:
Zdeněk má pravdu
děkuji

malarad · 20. 03. 2015 15:59

Rumburak napsal(a):
↑ malarad:

PS. Pokud bychom připustili, že hlavní osou může být libovolná přímka procházející počátkem,
pak by úloha měla dokone nekonečně mnoho řešení. Ale takové úlohy se řeší až na VŠ.

Protože libovolná přímka procházející počátkem může mít sklon od $0\pi$ do $2\pi$ a střed elipsy vzdálenosti od počátku libovolné? Takže by elipsa "rotovala"?

Matematické Fórum

#1 18. 03. 2015 09:06

Elipsa

#2 18. 03. 2015 09:17 — Editoval Cheop (18. 03. 2015 09:22)

Re: Elipsa

#3 18. 03. 2015 09:17 Příspěvek uživatele malarad byl skryt uživatelem malarad.

#4 18. 03. 2015 09:27

Re: Elipsa

#5 18. 03. 2015 09:35 — Editoval Cheop (18. 03. 2015 09:42)

Re: Elipsa

#6 18. 03. 2015 09:43 — Editoval misaH (18. 03. 2015 09:44)

Re: Elipsa

#7 18. 03. 2015 10:14

Re: Elipsa

#8 18. 03. 2015 10:18

Re: Elipsa

#9 18. 03. 2015 10:30

Re: Elipsa

#10 18. 03. 2015 11:12

Re: Elipsa

#11 18. 03. 2015 12:26

Re: Elipsa

#12 20. 03. 2015 10:40

Re: Elipsa

#13 20. 03. 2015 11:05

Re: Elipsa

#14 20. 03. 2015 11:45

Re: Elipsa

#15 20. 03. 2015 15:34 — Editoval Rumburak (20. 03. 2015 15:51)

Re: Elipsa

#16 20. 03. 2015 15:54

Re: Elipsa

#17 20. 03. 2015 15:59

Re: Elipsa

Rumburak napsal(a):

Zápatí