Matematické Fórum

kucape · 19. 03. 2015 01:58

Zdravím,
potřeboval bych poradit s tímto příkladem.

Určete, zda zadaná limita existuje, pokud ano, vypočtěte ji:

$\lim_{x\to+\infty }\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}-1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}$

Po dosazení vyjde neurčitý výraz. Jediné co mě napadlo je vynásobení chytrou jedničkou a použít vzorec $A^{2}-B^{2}$ :

$\lim_{x\to+\infty }\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}-1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}+1}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+1}$

$\lim_{x\to+\infty }\frac{{(x+\sqrt{x})}-1}{(\sqrt[3]{x}-\sqrt{x})\cdot (\sqrt{x+\sqrt{x}}+1)}$

A dále nevím jak pokračovat?
Předem díky za každou radu.

Bati · 19. 03. 2015 08:00

Ahoj ↑ kucape:.
Úprava, kterou navrhuješ má význam v situaci, kdy $A\approx B$ . Zde je ale, protože výrazy s odmocninou divergují, jednička bezvýznamná. Zaměř se na to, který člen diverguje nejrychleji a tímto členem zlomek zkrať.

byk7 · 19. 03. 2015 08:14

Pro lepší přehlednost možná použij substituci $x=y^6$ .

kucape · 19. 03. 2015 11:43 — Editoval kucape (19. 03. 2015 11:44)

↑ Bati:

Aha, no potřeboval bych poradit jak zjistit který člen diverguje rychleji. Zatim jsem zkoušel dosadit několik čísel a vyšlo mi že:
$\sqrt{x+\sqrt{x}}$ - diverguje rychleji než $\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}$ .
Ale asi to není uplně korektní postup.

↑ byk7:

Zdravím, mohl byste upřesnit kde přesně substituci $x=y^6$ použít? Momentálně nevím místo kterého členu bych ji měl použit?

misaH · 19. 03. 2015 12:23

↑ kucape:

No - miesto x píš $y^6$ .

kucape · 19. 03. 2015 12:26

↑ misaH:

No ale jaký to bude vyznám ? nebo v čem mi to pomůže ?

holyduke · 19. 03. 2015 13:52

↑ kucape:
$\lim_{y^{6}\to\infty }\frac{\sqrt{y^{6}+y^{3}}}{y^{2}-y^{3}}-\frac{1}{y^{2}-y^{3}}=\lim_{y^{6}\to\infty }\frac{y^{3}\sqrt{1-\frac{1}{y^{3}}}}{y^{3}(\frac{1}{y}-1)}=...$

Bati · 19. 03. 2015 14:19

↑ kucape:
Kouknu a vidím, že pro velká x je $\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}-1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}\approx \frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}$ , a tedy převládající člen bude $\sqrt{x}$ . Po zkrácení dostávám výraz $\frac{\sqrt{1+\frac1{\sqrt{x}}}-\frac1{\sqrt{x}}}{\frac1{\sqrt[6]{x}}-1}$ , což z aritmetiky limit vidím, že konverguje k -1.

vanok · 19. 03. 2015 15:34

Ahoj ↑ Bati:,
Tvoj prispevok je vlastne pouzitie vlasnosti "ekvivalentov" ( tu v $+\infty$ ) o ktorych som uz viac krat pisal na tomto fore.
Doplnenie tvojej uvahy
$\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}-1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}\approx \frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}\approx \frac {\sqrt x}{-\sqrt x} \approx -1$

Skoda, ze tato rychla a uccinna metoda sa skoro vobec na sk, cz neuci.( pritom vsetko co treba, kazdy "porto y" student vie uz po prvom rocniku, kde sa vyucuje matematika).

kucape · 19. 03. 2015 19:30

Děkuju všem za pomoc..

kucape · 19. 03. 2015 19:33 — Editoval kucape (19. 03. 2015 19:35)

↑ Bati:

Mohl bych se ještě zeptat na postup jak dojít k $\frac{\sqrt{1+\frac1{\sqrt{x}}}-\frac1{\sqrt{x}}}{\frac1{\sqrt[6]{x}}-1}$ ?

Když mám $\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}-1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}$ tak jak to pokrátit $\sqrt{x}$ ?

Freedy · 19. 03. 2015 19:34

↑ vanok:
u nás například byla tato metoda zmíněna ;)

Pavel · 19. 03. 2015 20:14

↑ vanok:

Ono se to neučí možná proto, že ty odhady mají svá úskalí, viz např. limita

$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x-2\sqrt x}-\sqrt{x-5\sqrt x}}{\sqrt[3]{x^2-4x\sqrt[3] x}-\sqrt[3]{x^2+7x\sqrt[3]x}}$

Pokud student neví, kdy ty odhady může použít, vycházejí z toho pak nesmysly, i když odhady jsou položeny správně.

kucape · 19. 03. 2015 20:22 — Editoval kucape (19. 03. 2015 20:41)

↑ holyduke:

Tedka se ještě dívám, je tohle správné ?

$\lim_{y^{6}\to\infty }\frac{\sqrt{y^{6}+y^{3}}}{y^{2}-y^{3}}-\frac{1}{y^{2}-y^{3}}=\lim_{y^{6}\to\infty }\frac{y^{3}\sqrt{1-\frac{1}{y^{3}}}}{y^{3}(\frac{1}{y}-1)}=...$

Nemá tam být $\lim_{y^{6}\to\infty }\frac{y^{3}\sqrt{1-\frac{1}{y^{3}}}-\frac{1}{y^{3}}}{y^{3}(\frac{1}{y}-1)}$ ?

holyduke

↑ kucape:
jo, ale já jsem to rozdělil na dvě limity (a jelikož ta druhá limita jde jasně k 0, tak jsem ju už nerozepisoval)

kucape · 19. 03. 2015 21:00

↑ holyduke:

Aha, jo tak to jsem pochopil jinak. Dobře už je mi to jasné.
Díky

vanok · 19. 03. 2015 21:24 — Editoval vanok (19. 03. 2015 21:27)

Pozdravujem ↑ Pavel:,
Pozor nejde o odhady ale o ekvivalenty!
Prave preto to treba vyucovat, ako som to uz vysvetlil na tomto fore, lebo treba vediet co sa moze a co nie pouzit ( aj z dokazmy).
Ale pochopitelne nic nemam proti inym do tym metodam ( elementarnym alebo nie) .

Matematické Fórum

#1 19. 03. 2015 01:58

Limita pro x -> ∞

#2 19. 03. 2015 08:00

Re: Limita pro x -> ∞

#3 19. 03. 2015 08:14

Re: Limita pro x -> ∞

#4 19. 03. 2015 11:43 — Editoval kucape (19. 03. 2015 11:44)

Re: Limita pro x -> ∞

#5 19. 03. 2015 12:23

Re: Limita pro x -> ∞

#6 19. 03. 2015 12:26

Re: Limita pro x -> ∞

#7 19. 03. 2015 13:52

Re: Limita pro x -> ∞

#8 19. 03. 2015 14:19

Re: Limita pro x -> ∞

#9 19. 03. 2015 15:34

Re: Limita pro x -> ∞

#10 19. 03. 2015 19:30

Re: Limita pro x -> ∞

#11 19. 03. 2015 19:33 — Editoval kucape (19. 03. 2015 19:35)

Re: Limita pro x -> ∞

#12 19. 03. 2015 19:34

Re: Limita pro x -> ∞

#13 19. 03. 2015 20:14

Re: Limita pro x -> ∞

#14 19. 03. 2015 20:22 — Editoval kucape (19. 03. 2015 20:41)

Re: Limita pro x -> ∞

#15 19. 03. 2015 20:54 — Editoval holyduke (19. 03. 2015 20:54)

Re: Limita pro x -> ∞

#16 19. 03. 2015 21:00

Re: Limita pro x -> ∞

#17 19. 03. 2015 21:24 — Editoval vanok (19. 03. 2015 21:27)

Re: Limita pro x -> ∞

Zápatí