Matematické Fórum

iva.zourkova · 20. 03. 2015 12:10

Zdravím, mám příklad:

Vypočtěte délky zbývajících stran a velikosti ostrých úhlů v pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C, jeli dáno:

c=52,8cm, alfa=64st.38'

Mám ho nakreslený: vrchol C=přepona 52,8cm, AB kde úhel alfa je na přeponě.
Mám: beta=25s.22'
Dál nevím, potřebuji poradit..

iva.zourkova · 20. 03. 2015 12:22

↑ iva.zourkova:
Spočítala jsem ho takhle:

sin alfa =a/c=52,8:sin 64st.38'=58,43cm
a=58,43cm

b=odmocnina a na druhou-c na druhou
b=25,03cm

Podle výsledků vzadu by to mělo být správně. Je správný i můj postup?
Díky

Honzc · 20. 03. 2015 12:38 — Editoval Honzc (20. 03. 2015 12:43)

↑ iva.zourkova:
Není. (jak ti může a vyjít větší než c, když c je přepona pravoúhlého trojúhelníka a ta je jistě delší než jakákoliv odvěsna)
To jsi se asi dívala na jiný příklad.
Místo sin alfa =a/c=52,8:sin 64st.38' má být sin alfa =a/c=> a=52,8xsin 64st.38'

$a=c\sin \alpha$
$b=c\sin\beta$ $\beta =90-\alpha$
nebo
$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$

iva.zourkova · 20. 03. 2015 12:45

↑ Honzc:
Jakými vztahy to jde, aby to vyšlo přesně? Můžeš mi to prosím i nakreslit?
Moc dík

qwasyxer

Obrázek: //forum.matweb.cz/upload3/img/2015-03/53201_trojuhelnik.png
Vztahy ti napsal Honzc
Jsou to ty nejzákladnější vztahy k této problematice, která se podle mě berou na ZŠ a na SŠ už by to mělo mít rozhodně vyšší úroveň....

iva.zourkova · 20. 03. 2015 13:13

↑ qwasyxer:
Díky

Znám tyto strany:
b=0,24m, beta=38st.20'
alfa vím=51s.40'

Nevím jak spočítat stranu a

qwasyxer · 20. 03. 2015 13:16

↑ iva.zourkova:
no pomocí sinovy věty...

iva.zourkova · 20. 03. 2015 13:21

↑ qwasyxer:
Sin alfa=a/c ?
Je to tak správně?

qwasyxer · 20. 03. 2015 13:23

no je, ale neznáš c, proto musíš použít sinovu větu...

iva.zourkova · 20. 03. 2015 13:27

↑ qwasyxer:
Já ten trojúhelník mám nakreslený:

AC=b=0,24m
AB=c
CB=a

Počítám to takhle, ale vyšlo mi 0,30 a má vyjít 30m

Sin alfa=0,24:sin 51s.40'
a=0,30
To je blbě vid?

qwasyxer · 20. 03. 2015 13:30

platí a/sin(alfa)=b/sin(beta)
čili a=sin(alfa)*b/sin(beta)

iva.zourkova · 20. 03. 2015 13:31

↑ iva.zourkova:
No, ale mě přijde, že strana b je přilehlá, ne?
cosinus mi nevychází...

iva.zourkova · 20. 03. 2015 13:38

↑ qwasyxer:
Mám to nakreslený, že vrchol C má 90st. naproti je přepona nejdelší

qwasyxer · 20. 03. 2015 13:39

http://cs.wikipedia.org/wiki/Sinov%C3%A1_v%C4%9Bta
toto si nastuduj
to je tvé řešení

qwasyxer · 20. 03. 2015 13:41

nebo jednoduše použij funkci tangens ;)

iva.zourkova · 20. 03. 2015 13:45

↑ qwasyxer:
Jo a mám to takhle dobře?

sin alfa=0,24:sin 51s.40'=0,30=30m

iva.zourkova · 20. 03. 2015 13:47

↑ iva.zourkova:

Sin alfa=b/sin alfa=0,24:sin 51s.40'=30m

Je to tak?
Dík

qwasyxer · 20. 03. 2015 13:53

$\frac{b}{a}=tan(\beta )=>a=\frac{b}{tan(\beta )}=\frac{0,24}{tan(38s 20 min)}=0,3035 m$
nebo
$\frac{a}{sin(\alpha )}=\frac{b}{sin(\beta )}$

čili
$a=\frac{b*sin(\alpha )}{sin(\beta )}$

iva.zourkova · 20. 03. 2015 13:55

↑ qwasyxer:
Napíšeš mi jak tedy, když mám nakreslený troj.

ABC, kdy vrchol C mám při vrcholu, úsečka AB ne naopak:-)

qwasyxer · 20. 03. 2015 13:56

však je to to samé, jak trojúhleník, který jsem zde již vkládala...

iva.zourkova · 20. 03. 2015 17:03

↑ qwasyxer:
V knize jsou vzadu výsledky a je tam 30m. Je to dobře?

qwasyxer · 20. 03. 2015 18:34

↑ iva.zourkova:
leda 30 cm, 30 metrů byto bylo ve chvíli, kdyby se b=24 metrů

iva.zourkova · 23. 03. 2015 12:49

↑ qwasyxer:

sinova věta je něco jiného než určení poměru délek a dopočítání úhlů?

To jsou vlastně funkce sinus, cosinus, tangens
Použijeme ji v jakých např. příkladech?

Rumburak

↑ iva.zourkova:
↑ qwasyxer:

Zdravím.

Sečteme-li velikosti těch dvou daných úhlů, zjistíme, že jde o trojúhelník pravoúhlý, takže se lze snadno obejít
bez sinové věty.

Sinová věta je v podstatě vzorec

(1) $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$

pro obecný rovinný trojúhelník, v němž

- $\alpha$ je velikost úhlu protilehlého ke straně délky $a$ ,
- $\beta$ je velikost úhlu protilehlého ke straně délky $b$ ,
- $\gamma$ je velikost úhlu protilehlého ke straně délky $c$ ,
- $R$ je poloměr kružnice trojúhelníku opsané.

Případ $\gamma = 90^{\circ}$ (tedy $\sin \gamma = 1$ ) dává rovnici (1) speciální tvar

(2) $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{1} = 2R$ ,

což jsou jen trochu jinak zapsané známé vztahy v pravoúhlém trojúhelníku. Sinová věta je tedy zobecněním
vztahů (2) na obecný rovinný trojúhelník.