Matematické Fórum

nasivin · 17. 03. 2009 00:15

Jsou dány rovnice:

-3839x + 4245y = 0
4245x - 4694y = 0

Najděte řešení pomocí gaussovy eliminační metody:

Vznikne tedy matice: (pravé strany vynechávám protože jsou 0)
-3839 4245
4245 -4694

První řádek dělím -3839
1 -4245/3839
4245 -4694

Přičítám (-4245 * první řádek) k řádku 2
1 -4245/3839
0 -241/3839

Dělím řádek 2 číslem -241/3839
1 -4245/3839
0 1

Přičítám (4245/3839 * řádek 2) k řádku 1
1 0
0 1

Hodnost této matice = 2 = počet neznámých
H(A) = n = 2.

Z toho vyplývá, že by soustava měla mít jen jedno řešení a to x=0 a y = 0.

Tak jakto že řešením této soustavy jsou x = -0.742, y = -0.671 ? Udělal jsem někde chybu? Díky za jakýkoliv nápad.

Kondr · 17. 03. 2009 00:38

Krom (x,y)=(0,0) opravdu jiné řešení neexistuje, tvůj postup je správně. To co v závěru uvádíš jako řešení, po dosazení nevyhoví -- stačí mít přesnou kalkulačku: http://www.google.cz/search?q=-3839*0.742%2B4245*0.671

nasivin

A jak by se to dalo řešit, kdybych MUSEL najít nějaké řešení, které se třeba jen přibližuje nule?

Je to totiž část výpočtu singulárního rozkladu matice a teoreticky by měl vždy vyjít alespoň jeden řádek Gaussovy eliminace nulový(kvůli zaokrouhlovacím chybám to ale nevychází), tzn. že bych měl být schopný najít alespoň jedno řešení.

Příklad:

Je dána matice A:
33 53
64 39

Matice A transponovaná krát A (At * A):
5185 4245
4245 4330

vlastní čísla c této matice jsou:
9023.972 ; 491.028

Vzorec pro počítání pravých singulárních vektorů:
(At * A) - cI = 0 ; kde c jsou vlastní čísla matice At*A a I je jednotková matice

Když do vzorce dosadím vlastní číslo 9023.972 tak vznikne příklad výše.

Kondr · 17. 03. 2009 21:35

Pokud už je ve výpočtu zaokrouhlovací chyba, tak to s ní prostě dopočítáš. Když byla matice ve tvaru
-3839 4245
4245 -4694
a vlastní vektor má být (x,y), pak můžeme zafixovat x=1, z prvního řádku y=0.904358068, ze druhého y=0.904345974. Z toho je vidět, že rovnice jsou v rozporu, my ale víme, že to je jen zaokrouhlovací chyba a můžeme to ignorovat. Kdybychom počítali symbolicky (tedy bez vyčíslování odmocnin), vyšlo by nám to přesně. To dá ale víc práce a možná to tak ve škole neděláte.

nasivin · 19. 03. 2009 15:29

A dalo by se to nějak zobecnit pro matici n*n?

Kondr · 19. 03. 2009 18:31

Obecné rady
* počítej symbolicky
* pokud nechceš počítat symbolicky, prováděj klasickou Gaussovu eliminaci. Při jejím vyhodnocování pak všechno, co je dost blízko nuly, nahraď opravdovou nulou. Tedy když jsi eliminoval do tvaru
1 -4245/3839
0 -241/3839
tak druhou rovnici můžeš považovat za 0 0. To je ale dost ošemetné, protože "dostatečně blízko" je vágně definované. Pracuj proto vždy s čísly na max. počet desetinných míst.

nasivin · 19. 03. 2009 20:00

A nestačilo by, kdybych poslední rovnici VŽDY vynuloval? Teď jsem to zkoušel na pár příkladech a zdá se že to funguje :)

Matematické Fórum

#1 17. 03. 2009 00:15

Řešení homogenní matice Gaussovou eliminací

#2 17. 03. 2009 00:38

Re: Řešení homogenní matice Gaussovou eliminací

#3 17. 03. 2009 20:39 — Editoval nasivin (17. 03. 2009 20:42)

Re: Řešení homogenní matice Gaussovou eliminací

#4 17. 03. 2009 21:35

Re: Řešení homogenní matice Gaussovou eliminací

#5 19. 03. 2009 15:29

Re: Řešení homogenní matice Gaussovou eliminací

#6 19. 03. 2009 18:31

Re: Řešení homogenní matice Gaussovou eliminací

#7 19. 03. 2009 20:00

Re: Řešení homogenní matice Gaussovou eliminací

Zápatí