Matematické Fórum

kucape · 20. 03. 2015 22:07

Zdravím, potřeboval bych poradit podle jaký vzoreček použít.

Mám vypočítat derivaci $f(x) = (\frac{1+x}{1-x})^{\frac{1-x}{1+x}}$

Mám zderivovat
1, podle $(a^{x})' = a^{x}\cdot \ln a$
2, plus derivace vnitřní závorku podle $(\frac{a}{b})'= \frac{a'b-ab'}{b^{2}}$ ?

takže:

$((\frac{1+x}{1-x})^{\frac{1-x}{1+x}})' = (\frac{1+x}{1-x})\ln (\frac{1+x}{1-x})\cdot \frac{2}{(1-x)^{2}}$

nebo

1, podle $(x^{\alpha })' = \alpha x^{\alpha -1}$
2, plus derivace vnitřní závorku podle $(\frac{a}{b})'= \frac{a'b-ab'}{b^{2}}$

takže:

$((\frac{1+x}{1-x})^{\frac{1-x}{1+x}})' = (\frac{1+x}{1-x})^{\frac{-2x}{1+x}} \cdot \frac{2}{(1-x)^{2}}$

?

A jak poznám co kdy použít?

byk7 · 20. 03. 2015 22:18

Ani jedno, tvoje funkce není ani exponenciální ani mocninná. Pokud máš derivovat funkci tvaru $\big(f(x)\big)^{g(x)}$ , tak je možné použít třeba přechod k exponenciální funkci, tj. $\big(f(x)\big)^{g(x)}=\mathrm{e}^{\,g(x)\cdot\ln$f(x)$}$
což bys už měl zvládnout.

kucape · 20. 03. 2015 22:57

↑ byk7:

Aha, ano to už zvládnu. Díky.

Takže dalo by se říct že když je tam v exponentu jenom $x$ , tak je exponenciála a když číslo $\alpha$ , tak mocninná, a ve "všech" ostatním případech $\big(f(x)\big)^{g(x)}=\mathrm{e}^{\,g(x)\cdot\ln$f(x)$}$ ?

Jj · 21. 03. 2015 10:26

↑ kucape:

Dobrý den.

Ano - je-li proměnná v mocněnci i v mocniteli.

Taky je ještě možno použít "logaritmické" derivování:

$y=\big(f(x)\big)^{g(x)}\Rightarrow \ln y = g(x)\cdot \ln f(x)$

a teď derivace obou stran:

$\frac{y'}{y}= (g(x)\cdot \ln f(x))'\Rightarrow y' = y\cdot (g(x)\cdot \ln f(x))'=\cdots$

kucape · 21. 03. 2015 12:04

↑ Jj:

Dobře, moc děkuji..

Matematické Fórum

#1 20. 03. 2015 22:07

Derivace funkce

#2 20. 03. 2015 22:18

Re: Derivace funkce

#3 20. 03. 2015 22:57

Re: Derivace funkce

#4 21. 03. 2015 10:26

Re: Derivace funkce

#5 21. 03. 2015 12:04

Re: Derivace funkce

Zápatí