Matematické Fórum

michalMFF · 21. 03. 2015 12:54

Zdravím, nevěděl by někdo, jak vyřešit tento příklad?

Máme zadanou fci F(x,y,z)= $x^{n}*f(\frac{y}{ax},\frac{z}{by})$

Neví někdo, jak bude vypadat parciální derivace F podle x, y, z ?

Děkuju

jelena · 21. 03. 2015 13:54

Zdravím,

při derivování po dx uvažuješ derivaci součinu funkcí, podle ostatních proměnných $x^n$ budeš považovat za konstantu. Ve všech případech je třeba uvažovat, že funkce f(...) je složená, tedy ještě nezapomenout na derivaci vnitřní funkce (a opět pozor na to, podle které proměnné derivuješ). Stačí tak? Děkuji.

michalMFF · 21. 03. 2015 14:39

Děkuju za skvělé vysvětlení. Jen ještě mám problém s tou vnitřní funkcí, matou mě ty dva výrazy v závorce. Např. derivace vnitřní funkce, když derivuju podle x, tak bude $-\frac{y}{a*x^{2}}$ ? A podle y by to bylo jak?

Moc děkuju

jelena · 21. 03. 2015 16:47 — Editoval jelena (21. 03. 2015 16:49)

↑ michalMFF:

není za co, předpokládám, že uvažuješ $f_y^{\prime}$\frac{y}{ax},\frac{z}{by}$$ derivaci po y. Obdobně, jak v odkazu - poznámka 6.2, označím vnitřní funkce
$\varphi(x,y,z)=\frac{y}{ax}$ ,
$\psi(x,y,z)=\frac{z}{by}$

Potom parciální derivace po y $f_y^{\prime}$\varphi(x,y,z),\psi(x,y,z)$=\frac{\partial f}{\partial \varphi}\cdot\frac{\partial \varphi}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial \psi}\cdot\frac{\partial \psi}{\partial y}$

michalMFF · 21. 03. 2015 17:38 — Editoval jelena (21. 03. 2015 18:22)

Takže jestli tomu dobře chápu, tak parciální derivace F podle y bude takto:

$x^{n}*f^{\prime}(\frac{y}{ax},\frac{z}{by})*(\frac{\sigma f}{\sigma \varphi }*\frac{1}{ax}+\frac{\sigma f}{\sigma \psi }*\frac{z}{b}*(-y^{-2})$

podle x (derivace součinu)

$n*x^{n-1}*f(\frac{y}{ax},\frac{z}{by})+x^{n}*f^{\prime}(\frac{y}{ax},\frac{z}{by})*(\frac{\sigma f}{\sigma \varphi }*\frac{\varphi }{\sigma x}+\frac{\sigma f}{\sigma \psi }*\frac{\sigma \psi }{\sigma x})$

podle z

$x^{n}*f^{\prime}(\frac{y}{ax},\frac{z}{by})*(0+\frac{\sigma f}{\sigma \psi}*\frac{1}{by})$

Parciální derivaci jsem označil znakem $\sigma$

Děkuji za kontrolu

Jelena> trochu opraven TeX / ^{\prime} misto ´

jelena · 21. 03. 2015 22:43 — Editoval jelena (22. 03. 2015 14:44)

↑ michalMFF:

děkuji, před pár hodinami jsem trošku opravila Tvůj zápis (nebyl čitelný - viz zápis pro znak derivace), další znaky najdeš napravo od okna zprávy v Editoru TeX, ohledně * :-)

K problému: EDIT: vhodnější označení je v příspěvku 8.
po x bych jen napsala tak $n\cdot x^{n-1}\cdot f$\frac{y}{ax},\frac{z}{by}$+x^{n}\cdot f^{\prime}_x$\frac{y}{ax},\frac{z}{by}$\cdot \frac{-y}{ax^2}$ , jak jsi v předchozím příspěvku uvedl (a jelikož derivace z/vy po x je nulová).

Obdobný zápis bude i derivace po z.

Uvažuji, jak přehledně zapsat derivaci po y, asi tak bych zapsala:
$x^{n}\cdot $\frac{\partial \(f\(\frac{y}{ax},\frac{z}{by}$\)}{\partial$\frac{y}{ax}$}\cdot \frac{1}{ax}+\frac{\partial $f\(\frac{y}{ax},\frac{z}{by}$\)}{\partial$\frac{z}{by}$}\cdot \frac{-z}{by^2}\)$ .

V parciálních derivacích po x, z jsem jen používala dolní index x nebo z u označení funkce, aby bylo jasné podle čeho se derivuje, v zápisu po y by mi to přišlo nepřehledné do indexu. Ale snad to prohlédne i někdo z kolegů, zda to tak může být. Děkuji.

michalMFF · 22. 03. 2015 13:41

Jen nechápu jednu věc. Např. v tomto výrazu (podle x) $n\cdot x^{n-1}\cdot f$\frac{y}{ax},\frac{z}{by}$+x^{n}\cdot f^{\prime}_x$\frac{y}{ax},\frac{z}{by}$\cdot \frac{-y}{ax^2}$ , ta derivace vnitřní funkce, nemělo by v té vnitřní funkcu být $\frac{\sigma f}{\sigma \varphi }*(-\frac{y}{ax^{2}})$ ? Nechápu, že jsi mohla vymazat $\frac{\sigma f}{\sigma \varphi }$ . Chápeš, co tím myslím?

Děkuju za odpověď

jelena · 22. 03. 2015 14:38 — Editoval jelena (22. 03. 2015 14:41)

↑ michalMFF:

rozumím (snad). Buď bychom museli pořádně vypisovat zavedené funkce $\varphi$ a $\psi$ : $\varphi(x,y,z)=\frac{y}{ax}$ , $\psi(x,y,z)=\frac{z}{by}$
v zápisu $f_y^{\prime}$\varphi(x,y,z),\psi(x,y,z)$=\frac{\partial f}{\partial \varphi}\cdot\frac{\partial \varphi}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial \psi}\cdot\frac{\partial \psi}{\partial y}$ a pokračovat s označením v celém výpočtu, nebo zapsat stejně, jako:

$F^{\prime}_y=x^{n}\cdot $\frac{\partial \(f\(\frac{y}{ax},\frac{z}{by}$\)}{\partial$\frac{y}{ax}$}\cdot \frac{1}{ax}+\frac{\partial $f\(\frac{y}{ax},\frac{z}{by}$\)}{\partial$\frac{z}{by}$}\cdot \frac{-z}{by^2}\)$

Potom máme:

$F_x^{\prime}=n\cdot x^{n-1}\cdot f$\frac{y}{ax},\frac{z}{by}$+x^{n}\cdot $\frac{\partial f\(\frac{y}{ax},\frac{z}{by}$}{\partial$\frac{y}{ax}$}\cdot \frac{-y}{ax^2}+0\)$

co je v nulovém členu, je asi jasné. Máš pravdu, předchozí označení indexem _x nebo _z není přesně to, podle čeho derivujeme.

Pro derivaci po z obdobně (přidám edit do předchozího mého příspěvku).

Matematické Fórum

#1 21. 03. 2015 12:54

parciální derivace

#2 21. 03. 2015 13:54

Re: parciální derivace

#3 21. 03. 2015 14:39

Re: parciální derivace

#4 21. 03. 2015 16:47 — Editoval jelena (21. 03. 2015 16:49)

Re: parciální derivace

#5 21. 03. 2015 17:38 — Editoval jelena (21. 03. 2015 18:22)

Re: parciální derivace

#6 21. 03. 2015 22:43 — Editoval jelena (22. 03. 2015 14:44)

Re: parciální derivace

#7 22. 03. 2015 13:41

Re: parciální derivace

#8 22. 03. 2015 14:38 — Editoval jelena (22. 03. 2015 14:41)

Re: parciální derivace

Zápatí