Matematické Fórum

vorel · 22. 03. 2015 22:21

Dobrý den,

v učebnici mám řešený příklad, ale tento příklad jsem počítal jinak a nevím zda i můj výsledek může být správně nebo se to mím způsobem počítat nedá.

Zadání je následující
$\int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{4x+5}}dx$

a já to počítal tímto způsobem:

$\int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{(2\sqrt{x})^{2}+5}}$

Následně jsem to řešil podle vzorce $\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+-B}}dx$

$\int_{}^{} \frac{1}{2} \ln |2\sqrt{x}+\sqrt{4x+5}|+C$

Fobl · 22. 03. 2015 22:47

Dobrý den.
Výsledek, který vám vyšel je jiný, než který by měl vyjít.
Já bych to osobně řešil pomocí substituce $\frac{1}{4}\int_{}^{}t^{-\frac{1}{2}}dx$ , kde by vám měl vyjít výsledek $\frac{1}{2}\sqrt{4x+5}+C$

holyduke

Ahoj, prilozim jeste jeden (podobny) zpusob
$\int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{4x+5}}dx= \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{x+\frac{5}{4}}}dx=\sqrt{x+\frac{5}{4}}+C$

vorel · 23. 03. 2015 00:09

Děkuji vám za odpovědi, ale ještě bych se chtěl zeptat, kde jsem udělal chybu. Případně jak mám poznat, že zvolený postup je špatný.

Protože podobný příklad jsme řešili ve škole a dělali jsme to tímto způsobem.

jarrro · 23. 03. 2015 08:50 — Editoval jarrro (23. 03. 2015 08:56)

$\frac{1}{\sqrt{(2\sqrt{x})^{2}+5}}\mathrm{d}x\stackrel{2\sqrt{x}=t}{=}\frac{\color{red}\frac{t}{2}}{\color{black}\sqrt{t^2+5}}\mathrm{d}t$

Bati · 23. 03. 2015 08:59 — Editoval Bati (23. 03. 2015 09:01)

Zdravím ↑ vorel:.
Uvedený postup je špatný. Nelze jen tak nahradit $y=2\sqrt{x}$ , v integrálu je možné dělat substituci jen podle příslušné věty, tj. musí se také správně nahradit diferenciál, případně meze. Podle uvedeného postupu by například také platilo
$\int (\sqrt{x})^2\,\mathrm{d}x=\int x^2\,\mathrm{d}x$ .
Nadto, $x=(\sqrt{x})^2$ jen pokud víme, že $x\geq0$ .

Edit: jarrro mě předběhl, ale nechávám to s tím, že to nese dodatečnou informaci.