Matematické Fórum

kryštof

Ahoj. Nalezněte funkci f, že $f'''(x)=|\sin x|$ .

Sem jsem ještě došel. Nějaký nápad jak pokračovat?

Pavel · 16. 03. 2015 16:33 — Editoval Pavel (16. 03. 2015 16:45)

kryštof

↑ Pavel:
Děkuju. Ale funkce f''' je difionovaná na R a pro každé $x\in \mathbb{R}$ vrátí reálnou hodnotu, takže f'' musí být spojitá na R atd.(?)

Pavel · 17. 03. 2015 21:20 — Editoval Pavel (18. 03. 2015 10:46)

↑ kryštof:

Máš samozřejmě pravdu, tu spojitost v násobcích $\pi$ jsem přehlédl. Při zachování spojtosti je situace komplikovanější. Tvoji funkci s celou části lze vyjádřit jediným předpisem:

$f''(x)=-\mathrm{sgn}\,(\sin x)\cdot\cos x+2\left\lfloor\frac x{\pi}\right\rfloor,\quad x\neq k\pi,\ k\in\mathbb Z$

Vzhledem ke spojitosti je potřeba předefinovat hodnoty derivací v násobcích čísla $\pi$ takto:

viz graf zde

$f''(k\pi):=\lim_{x\to k\pi}f''(x)$

Nenapadá mě nic jiného než to dále integrovat a nastavit integrační konstantu opět tak, aby byla spojitost zachována. Vychází toto:

$f'(x)=-|\sin x|+2x\left\lfloor\frac x{\pi}\right\rfloor-\pi\left\lfloor\frac x{\pi}\right\rfloor\left(\left\lfloor\frac x{\pi}\right\rfloor+1\right)$

viz graf zde - Pozn.: mezírky v grafu v okolí násobků $\pi$ bych neřešil, obě jednostranné limity se v nich rovnají

Pavel · 17. 03. 2015 22:02 — Editoval Pavel (17. 03. 2015 22:11)

A konečně po poslední integraci a po srovnání integračních konstant dostáváme

${\color{blue}f(x)=\mathrm{sgn}\,(\sin x)\cdot\cos x+x^2\left\lfloor\frac x{\pi}\right\rfloor-\pi x\left\lfloor\frac x{\pi}\right\rfloor\left(\left\lfloor\frac x{\pi}\right\rfloor+1\right)+\frac{\pi^2}{6}\left\lfloor\frac x{\pi}\right\rfloor\left(\left\lfloor\frac x{\pi}\right\rfloor+1\right)\left(2\left\lfloor\frac x{\pi}\right\rfloor+1\right)-2\left\lfloor\frac x{\pi}\right\rfloor},\quad x\neq k\pi,\ k\in\mathbb Z$

$f(k\pi):=\lim_{x\to k\pi}f(x),\ k\in\mathbb Z$

viz graf zde

kryštof · 23. 03. 2015 14:55

↑ Pavel:
Velice ti děkuji :)

Matematické Fórum

#1 16. 03. 2015 14:18 — Editoval kryštof (17. 03. 2015 14:45)

primitivni funkce

#2 16. 03. 2015 16:33 — Editoval Pavel (16. 03. 2015 16:45)

Re: primitivni funkce

#3 17. 03. 2015 19:14 — Editoval kryštof (17. 03. 2015 19:14)

Re: primitivni funkce

#4 17. 03. 2015 21:20 — Editoval Pavel (18. 03. 2015 10:46)

Re: primitivni funkce

#5 17. 03. 2015 22:02 — Editoval Pavel (17. 03. 2015 22:11)

Re: primitivni funkce

#6 23. 03. 2015 14:55

Re: primitivni funkce

Zápatí