Matematické Fórum

Ahoj, tuto úlohu jsem vložila i do skupiny: Didaktika a pedagogika: metodiky výuky a výukové materiály, kde mi nikdo neodpověděl, tak to zkouším tady. Snad to nevadí....

Vymyslela jsem metamtickou úlohu, ale potřebovala bych poradit s její lepší formulací zadání. Když jsem někomu tu úlohu  ukazovala, pochopil co má vlastně dělat až po přečtení postupu řešení a výsledků. Poradili by jste mi někdo, prosím, jak přesněji formulovat zadání, aby bylo ihned zřejmé, co je úkolem té úlohy?   :)

Mé zadání
Je dána sčítací pyramida. V horním řádku je doplněn výraz 54a – 11b – 84c + 48d + 6e + 182, ve čtvrtém řádku úplně vlevo je doplněn výraz -11b + 12d + 30. V těchto výrazech jsou a, b, c, d, e neznámé. Doplňte pět polí posledního řádku pyramidy a určete počet variant doplnění, víte-li, že v posledním řádku pyramidy obsahuje každé pole výraz tvaru xp+y, kde p je proměnná, x je koeficient z oboru celých čísel, y je konstanta z oboru přirozených čísel a dále platí, že y je v každém tomto poli jiné prvočíslo, dohromady však všechny tvoří skupinu pěti po sobě jdoucích prvočísel. Zde je obrázek: http://forum.matweb.cz/upload3/img/ … ramida.jpg

Mé řešení:
Výrazy v krajních polích posledního řádku se do konečného součtu v horním řádku započítávají 1x, vedlejší výrazy 4x a prostřední výraz 6x.
-11b se objevuje v konečném součtu, proto musí být v poli úplně vlevo. 12d se tedy započítává 4x, čemuž odpovídá v konečném součtu také 48d. Zbývá nám nějak do polí rozmístit 54a, -84c, 6e. Protože se prostřední řádek započítává 6x, může se do něj doplnit 1e, 9a nebo -14c. -14c tam doplnit nelze, protože 54a ani 6e nejsou dělitelné 4. Doplní-li se do prostředního pole 9a, musí být ve vedlejším poli -21c a v krajním pravém 6e. Doplní-li se do prostředního pole 1e, musí být ve vedlejším poli -21c a v krajním pravém 54a. Jsou tedy dvě varianty, jak doplnit do polí posledního řádku pyramidy proměnné s koeficienty z oboru celých čísel. Zbývají k nim přičíst nějaké konstanty z oboru přirozených čísel.

30 = 7 + 23
30 = 11 + 19
30 = 13 + 17     Jiná varianta součtu dvou prvočísel, aby výsledek byl 30, neexistuje.

A) 30 = 7 + 23
Pět po sobě jdoucích prvočísel, aby tam byla zahrnuta 7 i 23, nelze nejít.

B) 30 = 11 +19
Pět po sobě jdoucích prvočísel: 7, 11, 13, 17, 19
                                             11, 13, 17, 19, 23
7, 11, 13, 17, 19 :   
•    11 bude úplně vlevo a 19 vedle něj -> 182 – (11x1 + 19x4) = 95
17 uprostřed nemůže být, protože 6x17=102 a to je více než 95
13 může být uprostřed (13x6=78), 78+7x4+17=123 -> nelze
                                                   78+17x4+7=153 -> nelze (tato varianta se nemusí ani počítat, protože je zřejmé, že její výsledek bude větší jak 123, tedy i větší jak 95)
7 může být uprostřed (7x6=42), 42+13x4+17=111  -> nelze
                                               42+17x4+13=123 -> nelze (tato varianta se opět nemusí počítat)
•    19 bude úplně vlevo a 11 vedle něj -> 182 – (19x1+11x4) = 119
17 může být uprostřed (17x6=102), 102+7x4+13=143 -> nelze
                                                     102+13x4+7=161 -> nelze (tato varianta se opět nemusí počítat)
13 může být uprostřed (13x6=78), 78+7x4+17=123  -> nelze
                                                   78+17x4+7=153 -> nelze (tato varianta se opět nemusí počítat)
7 může být uprostřed (7x6=42), 42+13x4+17=111 -> nelze
42+17x4+13=123 -> nelze
=> těchto pět po sobě jdoucích prvočísel nelze do posledního řádku sčítací pyramidy umístit
- stejným způsobe udělat variantu 11, 13, 17, 19, 23
C) 30 = 13 + 17 
Pět po sobě jdoucích prvočísel: 5, 7, 11, 13, 17
                                             7,11, 13, 17, 19
                                             11, 13, 17, 19, 23
                                             13, 17, 19, 23, 29
- postupovat stejným způsobem
Jediná varianta, která lze do posledního řádku sčítací pyramidy umístit, jsou prvočísla 7, 11, 13, 17, 19 a to takto za sebou rozmístěná: 17, 13, 11, 7, 19, protože 17+4x13+6x11+4x7+19=182

Existují tedy pouze dvě varianty doplnění posledního řádku pyramidy:
-11b + 17     12d+ 13     9a + 11     -21c + 7         6e + 19

-11b + 17     12b + 13         1e + 11     -21c+ 7     54a + 19