Matematické Fórum

jendula11 · 20. 03. 2009 19:08

buď $(a_n )$ fibonacciho posloupnost potřeboval bych nalézt předpis pro n-tý člen této posloupnosti a hodnotu limity $lim\frac{a_n+1 }{a_n }$ .
Moc děkuji za pomoc nevím jak na to

Marian · 20. 03. 2009 19:22

↑ jendula11:
Záleží, jestli umíš něco z teorie diferenčních rovnic. Pak je to snadné. Ale postupů je více. Škoda, že nemám už čas. Určitě někdo poradí. Je to velice hezké téma.

jendula11 · 20. 03. 2009 19:24

↑ Marian:
Diferenciálním rovnicím rozumím budu rád za každou radu.

lukaszh

Ide o diferenčné rovnice, nie o diferenciálne. Pracujeme s diskrétnymi hodnotami. Fibonacciho postupnosť je definovaná
$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$
Uvažujem systém
$Au_n=u_{n+1}$
Ak označím vektor
$u_n=\begin{pmatrix}F_{n+1}\nlF_n\end{pmatrix}$
Potom pre ten systém platí
$\begin{pmatrix}1&1\nl1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}F_{n+1}\nlF_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}F_{n+2}\nlF_{n+1}\end{pmatrix}$
Teda tá matica ti rekurentne generuje fibonacciho postupnosť. My chceme ale jej explicitné vyjadrenie. Ak si porozmýšľaš, tak môžem písať
$A^nu_0=u_{n}$
kde u_0 sú počiatočné podmienky. Pre túto postupnosť je to vektor (1,1).
$\begin{pmatrix}1&1\nl1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\nl1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}F_{n+1}\nlF_{n}\end{pmatrix}$
Teraz ide o to, aby si vyjadrila tie mocniny matice. Postupuj cez diagonalizáciu matice a sprav rozklad $A^nu_0=V\rm{\Lambda}^nV^{-1}u_0$

Iný postup je úvahou členy v tvare $a_k=r^k$ a riešením charakteristického polynómu. Túto techniku dobre rozpísal kolega musixx tady.

Možno je to zapísané zle (Marian ma určite poopraví :-) ale aspoň ako intuitívna predstava ako riešiť diferenčné rovnice.

jendula11 · 20. 03. 2009 19:54

↑ lukaszh:
Moc díky za každou radu či nápad

jendula11 · 20. 03. 2009 20:24

prosím mohl by jsi mi tenhle zápis vysvwtlit nějak tomu nerozumím?? $Au_0=V\rm{\Lambda}^nV^{-1}u_0$

lukaszh · 20. 03. 2009 20:25

↑ jendula11:
Vieš čo sú vlastné vektory a vlastné hodnoty matice? Ak túto tému nepoznáš tak tento postup preskoč a prečítaj si vysvetlenie od musixx.

jendula11 · 20. 03. 2009 20:28

ano vím co jsou to vlastí vektory

lukaszh

↑ jendula11:
Pre vlastné hodnoty a vlastné vektory štvorcovej matice platí
$Ax_1=\lambda_1 x_1\nl\qquad\vdots\nlAx_n=\lambda_nx_n$
Maticovo
$\begin{pmatrix}&\vdots&\nl\cdots&A&\cdots\nl&\vdots&\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\vdots&&\vdots\nlx_1&\cdots&x_n\nl\vdots&&\vdots\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\vdots&&\vdots\nlx_1&\cdots&x_n\nl\vdots&&\vdots\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1&\cdots&0\nl&\ddots&\nl0&\cdots&\lambda_n\end{pmatrix}$
Tu si precvičíš maticové násobenie
Ak označím maticu vlastných vektorov V a maticu vlastných hodnôt Lambda, potom
$AV=V\rm{\Lambda}\quad\Rightarrow\quad A=V\rm{\Lambda}V^{-1}$
Na to aby sa tento rozklad dal spraviť, musí existovať inverzná matica k matici vlastných vektorov, teda $\lambda_i\ne\lambda_j\,;\;i\ne j$

jendula11 · 20. 03. 2009 20:40

↑ lukaszh:
aha už tomu rozumím děkuji za dovysvětlení

lukaszh · 20. 03. 2009 20:44

↑ jendula11:
Zabudol som na exponent, tak správne má byť
$A^nu_0=V\rm{\Lambda}^nV^{-1}u_0$

jendula11 · 20. 03. 2009 20:45

↑ lukaszh:
mooc děkuju mohl by jsi mi ještě prosím poradit jak na tu limitu?

jendula11 · 20. 03. 2009 20:47

$Au_n=u_{n+1}$
ještě bych měl please tenhle dotaz jak jsi v tomto kroku přišel na to A??

lukaszh · 20. 03. 2009 21:09

↑ jendula11:
Počítať tento príklad týmto spôsobom je hotová katastrofa. Výpočtom na papieri som zapísal pár strán. Preto uvediem ten postup cez charakteristický polynóm

Hľadám len netriviálne (nenulové) riešenia preto som mohol rovnicu vydeliť r^n. Toto je charakteristický polynóm ktorý má korene:
$r_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\nlr_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
Postupnosť F_n bude zapísaná kombináciou týchto dvoch riešení:
$F_n=A$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$^{n}+B$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$^n$
Zo začiatočných podmienok dopočítam A,B
$F_0=A+B=1\Rightarrow B=1-A$
$F_1=A$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$+(1-A)$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$=1\Rightarrow A=\frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$
Dosadím do vzorca pre B
$B=1-\frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=-\frac{1-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$
Teda explicitný tvar je
$F_n=$\frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$^{n}-$\frac{1-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$^n=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\left[$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$^{n+1}-$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$^{n+1}\right]$

jendula11 · 20. 03. 2009 21:14

↑ lukaszh:
děkuju moc tohle už se mi zdá příjemnější

Kondr · 20. 03. 2009 21:15

Další možnost je přes generující funkce. S posloupností $a_i$ je spojena formální číselná řada
(1) $F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i$
S využitím rocnice $a_{i+2}=a_{i+1}+a_i$ se pokusíme řadu F vyjádřit bez sum. Máme
(2) $xF(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^{i+1}$
(3) $x^2F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^{i+2}$
Když posuneme indexy tak, aby v (1) a (2) byl u x exponent i+2, dostaneme
(4) $F(x)=a_0+a_1x+\sum_{i=0}^{\infty}a_{i+2}x^{i+2}$
(5) $xF(x)=a_0x+\sum_{i=0}^{\infty}a_{i+1}x^{i+2}$
Využitím (3),(4) a (5) tedy $x^2F(x)+xF(x)=a_0x+\sum_{i=0}^{\infty}(a_ix^{i+2}+a_{i+1}x^{i+2})= a_0x+\sum_{i=0}^{\infty}a_{i+2}x^{i+2}=F(x)+a_0x-a_1x-a_0$ .
Odtud můžeme F vyjádřit jako podíl, rozložit na parciální zlomky a ty převést na známe geometrické řady. Dostaneme tak naši řadu ve tvaru součtu dvou řad geometrických.

Pavel · 21. 03. 2009 23:03 — Editoval Pavel (21. 03. 2009 23:04)

↑ jendula11:

Limitu lze spočítat i bez použití charakteristických polynomů nebo generujících funkcí. Stačí vyšetřit posloupnost

$x_n:=\frac{a_{n+1}}{a_n},\qquad n=1,2,\dots$

Není těžké dokázat, že tato posloupnost je pro liché resp. pro sudé indexy rostoucí resp. klesající a shora resp. zdola omezená a libovolný člen s lichým indexem je menší než libovolný člen se sudým indexem. Obě tyto vybrané posloupnosti mají stejnou limitu, a tudíž i posloupnost x_n má tutéž limitu. Dále platí

$x_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_{n}+a_{n-1}}{a_n}=1+\frac 1{x_{n-1}}.$

Je-li $\lim_{n\to\infty}x_n=x\geq 0$ , pak

$x=1+\frac 1{x}.$

Matematické Fórum

#1 20. 03. 2009 19:08

fibonacciho posloupnost

#2 20. 03. 2009 19:22

Re: fibonacciho posloupnost

#3 20. 03. 2009 19:24

Re: fibonacciho posloupnost

#4 20. 03. 2009 19:51 — Editoval lukaszh (20. 03. 2009 20:43)

Re: fibonacciho posloupnost

#5 20. 03. 2009 19:54

Re: fibonacciho posloupnost

#6 20. 03. 2009 20:24

Re: fibonacciho posloupnost

#7 20. 03. 2009 20:25

Re: fibonacciho posloupnost

#8 20. 03. 2009 20:28

Re: fibonacciho posloupnost

#9 20. 03. 2009 20:34 — Editoval lukaszh (20. 03. 2009 20:38)

Re: fibonacciho posloupnost

#10 20. 03. 2009 20:40

Re: fibonacciho posloupnost

#11 20. 03. 2009 20:44

Re: fibonacciho posloupnost

#12 20. 03. 2009 20:45

Re: fibonacciho posloupnost

#13 20. 03. 2009 20:47

Re: fibonacciho posloupnost

#14 20. 03. 2009 21:09

Re: fibonacciho posloupnost

#15 20. 03. 2009 21:14

Re: fibonacciho posloupnost

#16 20. 03. 2009 21:15

Re: fibonacciho posloupnost

#17 21. 03. 2009 23:03 — Editoval Pavel (21. 03. 2009 23:04)

Re: fibonacciho posloupnost

Zápatí