Matematické Fórum

mb1303 · 27. 03. 2015 21:28

Dobrý den, chtěl bych Vás požádat o pomoc s následujícím příkladem:
$\sqrt{x+1}+x^{2}-2x-1=0$
Snažil jsem se ho řešit několik způsoby, které vždy vedly na substituci, ale stejně mi vždy vyšla minimálně kubická rovnice.

Příklad mého řešení:
$\sqrt{x+1}+x^{2}-2x+1-2=0$
$\sqrt{x+1}+(x-1)^{2}-2=0$
$\sqrt{x+1}+(x+1-2)^{2}-2=0$
substituce: $\sqrt{x+1}=a$
A úpravou mi vždy vyjde nějaká mocninná rovnice.
Nevíte prosím, kde dělám chybu, nebo jak se dá řešit jinak?
Předem děkuji.

KubaP · 27. 03. 2015 21:48 — Editoval KubaP (27. 03. 2015 21:49)

Já bych nechal odmocninu na jedný straně, celou rovnici bych umocnil, takže na konci nezapomenout na zkoušku..
Vyjde ti tam na pravé straně (-(x-1)^2+2)^2 a to umocníš podle vzorce, to (x-1)^4 taky podle vzorce, mělo by to vyjít :)

misaH · 27. 03. 2015 22:05

http://m.wolframalpha.com/input/?i=solv … 1&y=14

byk7 · 27. 03. 2015 22:35

Ten nápad s tou substitucí není špatný, řekněme, že je $\sqrt{x+1}=a\ge0$ , pak $x=a^2-1$ . Pak

vidíme, že kubický trojčlen má kořen $a=1$ , takže po vydělení (nebo Hornerovo schéma) máme $a^3-2a^2+1=(a-1)$a^2-a-1$$ , čímž dostáváme rovnici $(a+2)(a-1)$a^2-a-1$=0$ , jejíž vyřešení je snadné. Výhodou tohoto postupu oproti Kubovi je, že není nutné dělat zkoušku. Stačí se podívat na znaménko čísla $a$ a záporná rovnou vyloučíme, zbylé dvě hodnoty, tj. $a\in\{1,\bigl(1+\sqrt5\bigr)/2\}$ vedou k řešení.