Matematické Fórum

KubaP · 30. 03. 2015 14:40 — Editoval KubaP (30. 03. 2015 15:06)

Určete $\cos 2\alpha$ a $\sin ^{2}2\alpha$ jestliže $\sin \alpha =-\frac{1}{2}$

Nedostal jsem zadaný žádný interval, čili mi vyšli dvě umístění na jednotkové kružnici a to
$\alpha_{1} =-\frac{\pi }{6}+2k\pi$
$\alpha_{2} =\frac{7\pi }{6}+2k\pi$

Z toho mám že
$2\alpha_{1} =-\frac{\pi }{3}+4k\pi$
$2\alpha_{2} =\frac{7\pi }{3}+4k\pi$

Pak jsem akorád dosadil
$\cos 2\alpha =\cos (-\frac{\pi }{3}+4k\pi )=\frac{1}{2}$ druhý případ nebylo nutný počítat..
A pak jsem spočítal
$\sin 2\alpha =\sin (-\frac{\pi }{3}+4k\pi )=\frac{-\sqrt{3}}{2}$ a z toho vyplývá, že
$\sin^{2} 2\alpha =\frac{3}{4}$

Jde mi o ten kvadrát funkce sinus.. za normálních okolností by mi vyšlo $\pm$ , kdybych měl místo úhlu zadanou pouze neznámou, je to tak? Ale ten zadaný úhel mi jasně určuje znaméno?

EDIT:
Nějak jsem se do toho zamotal, to vlastně platí při odmocňování a né umocňování :-D
Raději to tu ještě nechám, aby se někdo vyjádřil, kdybych něco zase zblbnul :)

Rumburak · 30. 03. 2015 14:50

Jen drobnost:
$\sin 2\alpha =\sin (-\frac{\pi }{3}+4k\pi )=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ , což na výsledek $\sin^{2} 2\alpha =\frac{3}{4}$ nemá vliv.

Jinak mi to připadá správně.

Cheop · 30. 03. 2015 14:56

↑ KubaP:
Odkdy
$\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=-\frac 34$ ?

KubaP · 30. 03. 2015 15:01

To mínus tam nemělo být, já to zblbnul z toho druhýho případu a pak jsem to při umocňování tam omylem nechal :)

Al1 · 30. 03. 2015 20:37 — Editoval Al1 (30. 03. 2015 20:39)

Není vůbec nutné pracovat s úhly, stačí si uvědomit existenci goniometrických vztahů:
$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$
$\cos (2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x$
$\\sin (2x)=2\sin x\cos x$

$\cos ^{2}\alpha =\frac{3}{4}$
$\cos (2\alpha )=\frac{1}{2}$
$\sin ^{2}(2\alpha )=\frac{3}{4}$

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2015 14:40 — Editoval KubaP (30. 03. 2015 15:06)

Goniometrické funkce

#2 30. 03. 2015 14:50

Re: Goniometrické funkce

#3 30. 03. 2015 14:56

Re: Goniometrické funkce

#4 30. 03. 2015 15:01

Re: Goniometrické funkce

#5 30. 03. 2015 20:37 — Editoval Al1 (30. 03. 2015 20:39)

Re: Goniometrické funkce

Zápatí