Matematické Fórum

klinki · 29. 03. 2015 21:10

Zdravím,

mám daný okruh D všech diferencovatelných funkcí a ideál

$I = \{ f \in D | f(0) = f'(0) = 0 \}$

mám za úkol sestavit izomorfismus tohoto okruhu s okruhem

$F = \mathbb{R}[x]/(x^2)$

Jestli to chápu dobře, tak v okruhu F by měly být pouze polynomy 1. a nižšího stupně, je to tak? Získám tedy 3 třídy ekvivalence: $\{[0], [c], [ax+c] \} a,c \in \mathbb{R}$

Ideál I obsahuje určitě polynomy > 1. stupně + nějaké další diferenciovatelné funkce, jejichž hodnota i hodnota derivace v bodě 0 = 0.

Faktorokruh D/I by měl tedy vypadat jako $\{[0], [A], [b] \}$ kde A je třída ekvivalence funkcí, pro které platí vlastnost ideálu - tedy $f(0) = f'(0) = 0$ a B je třída ekvivalence, kde to neplatí.

Daný izomorfismus je teda například
$[0] = [0] \nl [c] = [A] \nl [ax+c] = [b]$

je to tak?

vanok · 30. 03. 2015 17:06 — Editoval vanok (30. 03. 2015 17:09)

Ahoj ↑ klinki:,
Len mala poznamka:
$F = \mathbb{R}[X]/ (X^2)$ nam da dualne cisla: $a+\epsilon b$ , kde a, b su realne cisla, a $\epsilon^2=0$
Teraz iste lahko odpovies na danu otazku.

klinki · 30. 03. 2015 18:45

Ta duální čísla - není to jen jiné pojmenování pro polynomy 1. stupně? Okruh $\Bbb R[x]$ má jako elementy polynomy, tedy $a_{n}x^{n} + .. + a_1x + a_0$ a ten ideál $(X^2)$ mi říká, že $x^2 = 0$ tedy zmizí všechny členy polynomu stupně vyššího než 1 (protože nahrazuji $x^2 = 0$ a $x^3 = x^2 x \implies 0x = 0$ ) získám tedy polynomy 0. a 1. stupně, je to tak? Takže ona úvaha na třídy ekvivalence je správná?

vanok · 30. 03. 2015 19:06

↑ klinki:,
To nie je ine pomenovanie pre vseobecne polynomy prveho stupna.
Tu trieda aX+b je $a+\epsilon b$ take ze $\epsilon^2=0$ ( pozor to neznamena ze $\epsilon=0$ ...( cize mas jednu triedu pre kazde a,b)
Treba si uvedomit si co je $F = \mathbb{R}[X]/ (X^2)$
A co je trieda nuly?

Inac si dobre popisal dva polynomy tej istej triedy.Aby to bolo jasnejsie, mal by si popisat nasobenie v faktorovej strukture.

Iste nieco o tom najdes aj na internete.

aGr · 31. 03. 2015 18:01

@kllinki proč myslíš, že D/I se dělí na $\{[0], [A], [b] \}$ ?

Defince říká "... množinu D lze rozložit na disjunktní rozkladové třídy vzhledem k ideálu I, který nyní chápeme jakožto normální podgrupu grupy (D, +).". Tzn. tvořím rozkladové třídy podle podgrupy (I,+). Neměli by tedy rozkladové třídy vypadat takto:

1) $[ I ] = {x^2, x^3, ..., x^2+x^3, ..., 0, ..., 5x^{100}}$
2) $[1] = {x^2+1, x^3+1, x^2+2, ...}$
3) $[x] = {x+x^2 , x+x^2+x^3, ... }$

Vím, že to je blbě neboť např. $sin x$ není v žádné z těch rozkladových tříd a přitom do D patří. Nedaří se mi ale dojít k tomu co píšeš ty - $\{[0], [A], [b] \}$ .

------------------------------------

Položím tu otázku ještě jinak. Pokud ti dám za úkol vypsat jak bude vypadat $[sin x]$ jak z toho ukážeš, že se to rovná $[b]$ ? Z definice jsem ti dal něco co je z D a postupným přičítáním $h \in I$ by podle tvého návrhu mělo vzniknout $[b]$ . A to mi nejde do hlavy.

klinki · 31. 03. 2015 22:04

Dneska jsem to diskutoval s vyučujícím a shodli jsme se na tomto:

Třídy rozkladu pro $D/I$ : $\{[ax+c], [c], [0]\}$ a třídy rozkladu pro $\Bbb R[x]/(x^2)$ jsou $\{[x^2], [c], [ax+c]\}$

Matematické Fórum

#1 29. 03. 2015 21:10

Izomorfismus faktorokruhu okruhu diferencovatelných funckí

#2 30. 03. 2015 17:06 — Editoval vanok (30. 03. 2015 17:09)

Re: Izomorfismus faktorokruhu okruhu diferencovatelných funckí

#3 30. 03. 2015 18:45

Re: Izomorfismus faktorokruhu okruhu diferencovatelných funckí

#4 30. 03. 2015 19:06

Re: Izomorfismus faktorokruhu okruhu diferencovatelných funckí

#5 31. 03. 2015 18:01

Re: Izomorfismus faktorokruhu okruhu diferencovatelných funckí

#6 31. 03. 2015 22:04

Re: Izomorfismus faktorokruhu okruhu diferencovatelných funckí

Zápatí