Matematické Fórum

malarad · 02. 04. 2015 20:20

Ahoj, zlogaritmoval jsem exponenciální rovnici logaritmem o základu 10.
Vím, že by šlo rovnici vyřešit substitucí, ale chtěl jsem to logaritmovat :-)

Zadání:
$5^{x}+3\cdot 5^{x-1}=8\cdot 5^{-2}$
Můj postup:
$log 5^{x}+log3+log5^{x-1}= log8+log5^{-2}$
$xlog5+log3+(x-1)log5=log8+log5^{-2}$
$xlog5+log3+xlog5-log5=log8+log5^{-2}$
$x(log5+log5)=log8+log5^{-2}-log3+log5$
$x=\frac{log8+log5^{-2}-log3+log5}{(log5+log5)}$

mělo by vyjít $x=-1$ , při užití substituce, bez logaritmování mi to vyšlo.

misaH · 02. 04. 2015 20:25

↑ malarad:

V prvom riadku si logaritmoval zle.

Súčet sa takto logaritmovať nedá.

Al1 · 02. 04. 2015 20:26 — Editoval Al1 (02. 04. 2015 20:26)

Ahoj,

s logaritmováním to máš jako s umocňováním. Logaritmuješ celou levou stranu a celou pravou stranu rovnice. Vzhledem k tomu, že vlevo je součet, nemůžeš použít žádný vzorec pro logaritmy - logaritmus součtu se rovná čemu?

misaH · 02. 04. 2015 20:27 — Editoval misaH (02. 04. 2015 20:28)

$5^{x}+3\cdot 5^{x-1}=8\cdot 5^{-2}$

$5^x$1+\frac 35$=8\cdot 5^{-2}$

malarad · 02. 04. 2015 20:39

↑ Al1:
logaritmus součtu se rovná čemu? Zase jen součtu, to znamená už to nelze dál upravit

malarad · 02. 04. 2015 20:41

↑ misaH:
vytknutím jsem to taky počítal a vyšlo mi to, i substitucí...
Ale pak jsem si řekl, že nejsem amatér a že na to půjdu těžším způsobem-logaritmováním

Takže jaký je závěr? lze to počítat logaritmováním?

Al1 · 02. 04. 2015 20:43 — Editoval Al1 (02. 04. 2015 20:44)

↑ malarad:↑ malarad:

logaritmus součtu dvou nebo více argumentů se nedá upravit. Musel bys napsat

$\log_{}(5^{x}+3\cdot 5^{x-1})=\log_{}(8\cdot 5^{-2})$ .

Logaritmus vpravo upravíš - logaritmus součinu rovná se součet logaritmů, ale logaritmus vlevo upravit nelze, logaritmus součtu se nerovná součtu logaritmů!

malarad · 02. 04. 2015 20:48

logaritmus součtu se nerovná součtu logaritmů!
já jsem napsal, že logaritmus součtu se rovná zase logaritmus součtu, ne že se rovná součtu logaritmů.
Je mi to jasný

Al1 · 02. 04. 2015 20:54

↑ malarad:

Líbí se mi, že hledáš nové cesty. Je na nich ovšem třeba používat pravidla, která platí.

Jj · 02. 04. 2015 20:57

↑ malarad:

Dobrý večer.

Obecně tak samozřejmě nelze postupovat. Ale řekl bych, že speciálně v tomto případě (úplně náhodou):

$\log(5^{x}+3\cdot 5^{x-1})=\log(8\cdot 5^{-2})$

$\log(5^x(1+3\cdot 5^{-1}))=\log(8\cdot 5^{-2})$

$x\log 5+\log 8 -\log 5=\log 8 -2 \log5 \Rightarrow x = -1$

Ale samozřejmě - není to na nic.

malarad · 02. 04. 2015 21:00

jak jsi napsal, že je to jak s umocňováním rovnice, tak mi to hned došlo, jaký jsem provedl nesmysl. Občas se trochu stydím za některé chyby. Já jsem se moc nikdy matematiku neučil. A když už ji mám umět, tak pořádně. Nestačí mi se jen nějak "dohrabat" k výsledku.

Al1 · 02. 04. 2015 21:02 — Editoval Al1 (02. 04. 2015 21:05)

↑ Jj:

A třeba $3^{x}+3^{x-1}=12$
$\log_{}(3^{x}+3^{x-1})=\log_{}12$
$\log_{}(3^{x}(1+\frac{1}{3}))=\log_{}(4\cdot 3)$
$\log_{}3^{x}+\log_{}4-\log_{}3=\log_{}4+\log_{}3$
$x\cdot \log_{}3+\log_{}4-\log_{}3=\log_{}4+\log_{}3$

$x=2$