Matematické Fórum

ashleygreen · 04. 04. 2015 13:07

Zdravím! Nevím si rady se dvěma příklady:
1) Aritmetická posloupnost má první člen $a_{1} = 20$ a diferenci d = -4. Najděte člen, který je roven jedné čtrnáctině součtu všech předcházejících členů.
2) V geometrické posloupnosti je $a_{1} = \frac{1}{16}$ , q = 2. Pro který člen platí: $a_{n} + a_{n+3} = 2304$ ?
První příklad jsem zkoušela řešit soustavou rovnic, ale nevychází:
$a_{n} = \frac{1}{14} \cdot [\frac{n}{2} \cdot (a_{1} + a_{n)}]$
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$
Předem děkuji za rady. :)

Freedy · 04. 04. 2015 13:16

Ahoj,

1) součet aritmetické posloupnosti je dán vzorcem:
$s_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$
Ze znalosti aritmetické posloupnosti jistě víš, jak si správně napsala, že platí
$a_n=a_1+(n-1)d$ a tedy lze součet aritmetické řady vyjádřit též jako:
$s_n=\frac{n(a_1+a_1+(n-1)d)}{2}=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$
Ty potřebuješ najít takový člen $a_n$ který splňuje
$\underbrace{a_n}_{a_1+(n-1)d}=\frac{1}{14}\cdot\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$ znáš a1, znáš d, jediné co dopočítáš je n.

2) Pokud je $a_1=\frac{1}{16}$ a $q = 2$ , potom lze n-tý člen vyjádřit jako
$a_n=(\frac{1}{16})\cdot 2^{n-1}$ a (n+3)-tý člen jako
$a_{n+3}=(\frac{1}{16})\cdot 2^{n+2}$
Stačí tedy sečíst tyto dva členy a položit je rovno 2304. (využij toho, že jsou zde pouze mocniny dvojky)

gadgetka · 04. 04. 2015 13:17

Ahoj, hledáš toto $a_{n}=\frac{1}{14}s_{n-1}$

Al1 · 04. 04. 2015 13:43

↑ ashleygreen:

Jen taková poznámka. Když si nevíš rady s řešením nějakého příkladu, začni si s konkrétními hodnotami. Posloupnost v případě a) bude mít několik prvních členů

20; 16; 12; 8; 4; ...

Když sečtu 20+16+12+8=56 a vypočítám 1/14, vyjde mi 4, což je pátý člen této posloupnosti. takže $a_{n+1}=\frac{1}{14}\cdot s_{n}$

ashleygreen · 05. 04. 2015 11:33

Všem děkuji za rady! :)

Matematické Fórum

#1 04. 04. 2015 13:07

Aritmetická a geometrická posloupnost

#2 04. 04. 2015 13:16

Re: Aritmetická a geometrická posloupnost

#3 04. 04. 2015 13:17

Re: Aritmetická a geometrická posloupnost

#4 04. 04. 2015 13:43

Re: Aritmetická a geometrická posloupnost

#5 05. 04. 2015 11:33

Re: Aritmetická a geometrická posloupnost

Zápatí