Matematické Fórum

GeorgeLD

Dobrý den,

budu-li mít příklad, že na displayi o rozměrech 1000x1000 pixelů je pixel s pravděpodobností P=0.16 černý, tedy střední hodnota černých pixelů je 1600000, jak bude vypadat graf znázorňující pravděpodobnost, že X pixelů bude černých?

Váhám nad tím, jak bude takováto gaussova křivka vypadat a to především, zdažli bude souměrná na obě strany od své střední hodnoty (jen k jedné straně bude "odseknutá" a nebude pokračovat), nebo bude tato křivka zdeformovaná.

Děkuji

KennyMcCormick

střední hodnota černých pixelů je 1600000

Bude to jen 160 000 (=0,16*1000*1000).

Výsledná Gaussova křivka bude souměrná na obě strany a nebude nikde odseknutá. Ve skutečnosti samozřejmě nemůžeš mít záporné množství pixelů, tudíž by ta křivka správně být odseknutá měla, ale v této situaci bude nepřesnost tak malá, že to nevadí.

Pro křivku bude platit
$\mu=np=10^6\cdot0,16=160\:000$ ,
$\sigma^2=np(1-p)=160\:000\cdot(1-0,16)=134\:400$
a rovnice této křivky bude
$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}$ .

Pozor, znázorňuješ-li hledanou pravděpodobnostní funkci Gaussovou křivkou, provádíš aproximaci diskrétního rozdělení rozdělením spojitým a výsledná funkce ti tedy nemůže říct, jaká je pravděpodobnost určitého konkrétního množství pixelů.

Můžeš se ale ptát na pravděpodobnost v určitém rozmezí. Pravděpodobnost, že více než $a$ a méně než $b$ pixelů je černých, by se spočítala jako
$P=\int\displaylimits_a^b f(x)\d x$ .

Je to všechno jasné?

EDIT: Drobně přefrázováno pro vyšší srozumitelnost.

GeorgeLD

Výborně, super, děkuji :-)

jen ještě dodatek šťourala, pakliže bychom jen úlohu neaproximovali na gaussovu křivku, ale chtěli bychom mít přesnou křivku, např vypočtenou počítačově pro jednotlivé pixely, tak by už byla "zdeformovaná"/nesouměrná, tím že střední hodnota není ve středu našeho rozmezí 0 až 1000*1000, ne?

KennyMcCormick

Ne, byla by souměrná i tak (EDIT: Nebude souměrná, sorry). Vypadala by jako takové stupňovité schody. Skutečná pravděpodobnostní funkce by byla funkce binomického rozdělení - pravděpodobnost, že bude přesně $x$ pixelů černých, by se přesně rovnala
$f(x)={n\choose x}p^x(1-p)^{n-x}$ .

střední hodnota není ve středu našeho rozmezí 0 až 1000*1000, ne?

Střední hodnota je pořád stejná. I při aproximaci Gaussovou křivkou není střední hodnota ve středu rozmezí, ale bude se rovnat $np$ . Pro přesnou křivku je to totéž.

EDIT: Oprava.

Stýv · 05. 04. 2015 17:07

↑ KennyMcCormick: nebyla by souměrná

KennyMcCormick · 05. 04. 2015 17:32

Máš pravdu, sorry.

Matematické Fórum

#1 03. 04. 2015 14:46 — Editoval GeorgeLD (03. 04. 2015 14:47)

Gaussova křivka nad omezenými vstupními daty

#2 04. 04. 2015 19:41 — Editoval KennyMcCormick (04. 04. 2015 19:45)

Re: Gaussova křivka nad omezenými vstupními daty

#3 04. 04. 2015 22:17 — Editoval GeorgeLD (04. 04. 2015 22:18)

Re: Gaussova křivka nad omezenými vstupními daty

#4 05. 04. 2015 15:39 — Editoval KennyMcCormick (05. 04. 2015 17:32)

Re: Gaussova křivka nad omezenými vstupními daty

#5 05. 04. 2015 17:07

Re: Gaussova křivka nad omezenými vstupními daty

#6 05. 04. 2015 17:32

Re: Gaussova křivka nad omezenými vstupními daty

Zápatí