Matematické Fórum

check_drummer

Ahoj,
najděte největší takové reálné d nezáporné, že $\int_{x=1}^{\infty}{\frac{1}{x.\log^{d}{x}}.dx}$ diverguje (resp. najděte supremum takových d).

A pokud ho naleznete, pak nabízím bonusovou úlohu: pro toto d najděte největší takové reálné r nezáporné, že $\int_{x=1}^{\infty}{\frac{1}{x.\log^{d}{x}.\log^{r}(\log{x})}.dx}$ diverguje (resp. najděte supremum takových r). (A takto lze postupovat dále...)

Edit: Upraven titulek, původně v něm byl nic neříkající překlep "ahoj".

Brano · 04. 04. 2015 19:42 — Editoval Brano (05. 04. 2015 00:32)

povodne som to mal bez "hid-u" lebo som zabudol na dobre mravy, ale radsej neskor ako nikdy.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

check_drummer

↑ Brano:
Ahoj ,děkuji za odpověď, založil jsem obecnější vlákno zde.

Bati · 06. 04. 2015 18:16 — Editoval Bati (09. 04. 2015 20:35)

Ahoj.
Poznámka:
Divergence např. toho prvního integrálu je způsobena dvěma faktory:
1) Pro $d\leq1$ funkce $\log^{-d}{x}$ roste příliš rychle v okolí nekonečna.
2) Pro $d\geq1$ má funkce $\log^{-d}{x}$ singularitu v bodě 1.
Proto, abychom získali přesnější analýzu konvergence daného integrálu, je přirozenější zvolit jinou váhu, která nemá singularitu v 1: místo $\log^{-d}{x}$ vzít funkci $(1+\log{x})^\alpha$ , pokud jsme na intervalu $(1,\infty)$ , případně $(1-\log{x})^{\alpha}$ , pokud jsme na $(0,1)$ .

check_drummer · 09. 04. 2015 17:37

↑ Bati:
Otvírám téma jako nevyřešené.

Mně ani tak nejde o ten bod 1 jako spíše o to nekonečno - tedy obecně mě zajíma konvergence pro $\int_{x=a}^{\infty}{\frac{1}{x.\log^{d}{x}}.dx}$ , kde "a" lze volit dostatečně velké (ale pevné). Jak to potom bude s tou konvergencí?

Děkuji.

Bati · 09. 04. 2015 21:48 — Editoval Bati (09. 04. 2015 21:51)

Právě proto jsem navrhl tu jinou váhu $1+|\log{x}|$ . Moje volba má výhodu v tom, že funguje stejně dobře na intervalu $(0,1)$ jako na $(1,\infty)$ . Navíc, pokud ty logaritmy začneme iterovat, nemusíme se starat o velikost $a$ . Pro $x>0$ definujme $\ell_1(x):=1+|\log{x}|$ , $\ell_{n+1}(x):=1+\log(\ell_{n}(x))$ , $n\in\mathbb{N}$ a $\vartheta_n^{\boldsymbol\alpha}(x):=\prod_{i=1}^n\ell_i(x)^{\alpha_i}$ , $\boldsymbol\alpha\in\mathbb{R}^n$ . Substitucí v integrálu lze snadno ukázat, že
$\int_1^{\infty}x^{-1}\vartheta_n^{\boldsymbol\alpha}(x)\,\mathrm{d}x$
konverguje právě když existuje $k\in\{1,\ldots,n\}$ tak, že $\alpha_k<-1$ a $\alpha_i=-1$ pro $1\leq i\leq k-1$ , přičemž pokud $\boldsymbol\alpha=(-1,\ldots,-1)$ integrál se asymptoticky chová jako $\ell_{n+1}$ vzhledem k horní mezi.

Hledání vah s podobnými vlastnostmi není omezeno na iterované logaritmy. Idea funkcí, které v nějakém smyslu mají malý vliv na asymptotický růst mocnin, má svou přesnou formalizaci v podobě tzv. slowly varying functions. Jedna z obvyklých definic je taková: Definujeme třídu funkcí $SV(a,b)$ jako množinu všech měřitelných, nezáporných funkcí $b$ na $(a,b)$ , splňující
$0\not\equiv b\not\equiv+\infty$ ,
pro každé $\varepsilon>0$ existuje funkce $g_\varepsilon$ měřitelná, nezáporná, rostoucí a funkce $g_{-\varepsilon}$ měř., nezáp., klesající tak, že
$x^{\varepsilon}b(x)\approx g_{\varepsilon}(x)$ a $x^{-\varepsilon}b(x)\approx g_{-\varepsilon}(x)$ pro všechna $x\in(a,b)$ , kde $\approx$ znamená rovnost až na kladnou multiplikativní konstantu nezávislou na ostatních parametrech (která může být v každém směru nerovnosti jiná).
Tato třída obsahuje například funkce $x\mapsto \exp(\ell_1(x)^{\alpha})^\beta$ , $\alpha\in(0,1)$ .

check_drummer

↑ Bati:
Děkuji za obecný přístup. Já jsem původně zkoumal prvočíselnou větu a díky tomu, že platí, že $\sum_p{1/p}$ pro p prvočísla diverguje, ale že tedy (zhruba řečeno) $\sum_n{\frac{1}{n.ln^d(n)}}$ pro d>1 konverguje, tak to naznačuje, že n-té prvočíslo je (asymptoticky) nejvýše rovno $n.ln(n)$ ... (resp. nejvýše rovno $n.ln(n).ln(ln(n)).ln(ln(ln(n)))...$ )

Bati · 10. 04. 2015 00:26

Já se zase teď zabývám prostory s "normou" $\lVert t^{\frac1p-\frac1q}b(t)f(t)\rVert_{q,(0,1)}$ . Je zajímavé, že s.v. funkce mají původ zase někde úplně jinde.

Matematické Fórum

#1 04. 04. 2015 19:29 — Editoval check_drummer (05. 04. 2015 11:41)

Iterovaný logaritmus v určitém integrálu

#2 04. 04. 2015 19:42 — Editoval Brano (05. 04. 2015 00:32)

Re: Iterovaný logaritmus v určitém integrálu

#3 05. 04. 2015 21:03 — Editoval check_drummer (05. 04. 2015 21:03)

Re: Iterovaný logaritmus v určitém integrálu

#4 06. 04. 2015 18:16 — Editoval Bati (09. 04. 2015 20:35)

Re: Iterovaný logaritmus v určitém integrálu

#5 09. 04. 2015 17:37

Re: Iterovaný logaritmus v určitém integrálu

#6 09. 04. 2015 21:48 — Editoval Bati (09. 04. 2015 21:51)

Re: Iterovaný logaritmus v určitém integrálu

#7 09. 04. 2015 23:50 — Editoval check_drummer (09. 04. 2015 23:53)

Re: Iterovaný logaritmus v určitém integrálu

#8 10. 04. 2015 00:26

Re: Iterovaný logaritmus v určitém integrálu

Zápatí