Matematické Fórum

kucape · 05. 04. 2015 18:22

Zdravím,
potřeboval bych poradit s postupem.

Mám zadanou funkci: $f(x)=2\sin x+\cos 2x$ a mám najít intervaly ryzí monotonie.

Po zderivování a použití gon. vzorce mi vyšlo:

$f'(x)=2\cos x-2\sin (2x)$

$2(\cos x-\sin (2x))=2(\cos x-2\sin x\cos x)=2\cos x(1-2\sin x)$

$(\cos x)(1-2\sin x) > 0$

Z toho mi vypadnou dva intervaly:

1,
$(\cos x)> 0$ Řešení: $x>-\frac{\pi }{2}+2k\pi$ $x<\frac{\pi }{2}+2k\pi$

2,
$(1-2\sin x) > 0$ Řešení: $x>-\frac{7\pi }{6}+2k\pi$ $x<\frac{\pi }{6}+2k\pi$

A tedka nevim jak ty výsledky pospojovat abych mohl určit body kdy funkce roste případně klesá?

Al1 · 05. 04. 2015 18:28

↑ kucape:

Namaluj si výsledky na jednotkovou kružnici

kucape · 05. 04. 2015 18:40

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/51969_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png

A co dále ? Napadlo mě to nějak sjednotit ale nějak se v tom nedokážu orientovat.

Al1 · 05. 04. 2015 18:57 — Editoval Al1 (05. 04. 2015 19:10)

↑ kucape:

Hodnotu $\frac{-7\pi }{6}$ máš na kružnici špatně. Já jsem volil raději jednu kružnici s kladnými úhly. Vidíš průnik obou intervalů?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Navíc si uvědom, že součin dvou čísel je kladný nejen tehdy, když jsou obě čísla kladná, ale také když jsou obě záporná.

kucape · 05. 04. 2015 19:49 — Editoval kucape (05. 04. 2015 21:39)

↑ Al1:

Ano omlouvám se za chybu.

Ano vidím, takže průnik těch intervalů je $(\frac{3\pi }{2};\frac{\pi }{6})$ , pokud se nepletu, ale to bude jenom když budou $(\cos x)$ a $(1-2\sin x)$ kladné.

A když budou $(\cos x)$ a $(1-2\sin x)$ záporné, to jsou vlastně ty nevyšfravované intervaly na té jednotkové kružnici.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/55856_53021_kruznice2.png

Takže ještě jeden interval, když do Vašeho obrázku doplní, průnik hnědé a žluté je $(\frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6})$ .

Čili $(\frac{3\pi }{2};\frac{\pi }{6})$ a $(\frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6})$ ?

Al1 · 05. 04. 2015 20:00

↑ kucape:

Opravil bych
$(\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{6})$

a především $(\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{6})$ , protože stále děláš chybu v kladném a záporném úhlu.

platí $\sin x=\frac{1}{2}$ pro $x=\frac{\pi }{6}$ a $x=\frac{5\pi }{6}$ na jedné kružnici

a $\frac{5\pi }{6}=\frac{-7\pi }{6}$

kucape · 05. 04. 2015 20:14 — Editoval kucape (05. 04. 2015 21:41)

↑ Al1:

Aha, no ja jsem to rychle propočítaval a pak jsem výsledky vzal odjinud, ještě si to propočítam znovu.

Takže výsledkem je že funkce je rostouci na intervalu $(\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{6})$ a $(\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{6})$ a klesající na intervalu $(\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2})$ a $(\frac{5\pi }{6};-\frac{\pi }{2})$ .

Jestli tam mám někde zase chybu tak se omlouvám ale už se mi to trochu plete..

Al1 · 05. 04. 2015 20:21

↑ kucape:

V posledním intervalu by měla být horní mez $\frac{3\pi }{2}$ , aby byla zachována definice intervalu $(a;b)$ , kdy $a<b$ .

A přidat periody $2k\pi$ .

Jinak to vypadá dobře.