Matematické Fórum

mulder · 07. 04. 2015 16:48

Dobrý den všem,
potřebuji nakopnout u tohoto příkladu. Určete délku části křivky $y=1-\sqrt{4-x^{2}}$ pod osou x. Nevím jak postupovat. Určitě to bude jednoduché.
Děkuji

Freedy · 07. 04. 2015 16:59

Ahoj,

pro funkci $f$ , která je spojitá na $\langle a;b\rangle$ a její derivaci, která je rovněž spojitá na $\langle a;b\rangle$ platí, že délka křivky na tomto intervalu je rovna:
$d=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}\text{dx}$
Stačí tedy určit derivaci této funkce a meze a,b.
Pokud si nakreslíš obrázek (nebo i z hlavy) tak hledáš vlastně body, kde graf funkce protíná osu x.
Jsou to tedy body, které jsou řešením rovnice
$1-\sqrt{4-x^2}=0$
Poté už stačí dosadit a dopočítat

mulder · 07. 04. 2015 17:27

Meze mi vyšli $\pm \sqrt{3}$ a derivace mi vyšla $\frac{x}{\sqrt{(2-x)}*\sqrt{(2+x)}}$

Al1 · 07. 04. 2015 17:28

↑ mulder:

To je dobře.

mulder · 07. 04. 2015 17:34

↑ Al1:Po dosazení do integrálo pro výpočet délky jsem v koncích. To už je na mne trochu složité. $\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{1+\frac{x^{2}}{4-x^{2}}dx}$

Al1 · 07. 04. 2015 17:36

↑ mulder:

Uprav výraz pod odmocninou převodem na společného jmenovatele a vzniklý výraz integruj substitucí x=2t

Freedy · 07. 04. 2015 17:46

Ahoj,

upravíš výraz pod odmocninou jako:
$\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4}{4-x^2}}\text{dx}=\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{1}{1-\frac{x^2}{4}}}\text{dx}$
nyní nevím co zamýšlel kolega Al1, nicméně tento integrál se řeší jednoduchou substitucí a to:
$\frac{x}{2}=\sin t$
$\frac{1}{2}\text{dx}=\cos t\text{dt}$ >>> $\text{dx}=2\cos t\text{dt}$ a počítáš tedy integrál:
$2\int_{}^{}\sqrt{\frac{1}{1-\sin ^2t}}\cos t\text{dt}=2\int_{}^{}t\text{dt}$ atd... (meze sem tam neměnil, protože stejně se nakonec vracíš k původní proměnné)

mulder · 07. 04. 2015 17:51

↑ Freedy:Nerozumím ani jednomu postupu. Dospěl jsem po úpravě k výrazu $\int_{}^{}\frac{2}{\sqrt{4-x^{2}}}dx$ .

mulder · 07. 04. 2015 17:53

↑ mulder:Výsledek má být $\frac{4}{3}\pi$

Al1 · 07. 04. 2015 18:00 — Editoval Al1 (07. 04. 2015 18:45)

Matematika je krásná v tom, že k cíli vede více cest.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

mulder · 07. 04. 2015 18:04

↑ Al1:Děkuji za vyčerpávající odpověď.

Freedy · 07. 04. 2015 18:18

↑ Al1:
Samozřejmě :) použití vzorce je jistě elegantnější cesta než dospět k výsledku substitucí. O tom žádná (ironie)

Al1 · 07. 04. 2015 18:24 — Editoval Al1 (07. 04. 2015 18:24)

↑ Freedy:

Pokud sis dobře všiml, substutice byla v mém případě také použita. A ty také používáš vzorce, jak pro vztahy goniometrické, tak pro integraci. Jak říkám:" Matematika je krásná v tom, že k cíli vede více cest."

A na ironické poznámky jsem si zvykl, původně jsem myslel, že tu chceme pomáhat a že uvítáme jiný pohled na věc.

Matematické Fórum

#1 07. 04. 2015 16:48

délka části křivky

#2 07. 04. 2015 16:59

Re: délka části křivky

#3 07. 04. 2015 17:27

Re: délka části křivky

#4 07. 04. 2015 17:28

Re: délka části křivky

#5 07. 04. 2015 17:34

Re: délka části křivky

#6 07. 04. 2015 17:36

Re: délka části křivky

#7 07. 04. 2015 17:46

Re: délka části křivky

#8 07. 04. 2015 17:51

Re: délka části křivky

#9 07. 04. 2015 17:53

Re: délka části křivky

#10 07. 04. 2015 18:00 — Editoval Al1 (07. 04. 2015 18:45)

Re: délka části křivky

#11 07. 04. 2015 18:04

Re: délka části křivky

#12 07. 04. 2015 18:18

Re: délka části křivky

#13 07. 04. 2015 18:24 — Editoval Al1 (07. 04. 2015 18:24)

Re: délka části křivky

Zápatí