Matematické Fórum

mulder · 07. 04. 2015 18:00

Dobrý den.
S tímto typem příkladu se setkávám poprvé. Napište rovnici tečny k implicitně zadané křivce $x^{2}y-y^{2}+\frac{5}{2}x=0$ v bodě $x_{0}=2$ Zkuste mne trochu nakopnout. Nevím zda mám do rovnice za hodnotu x dát dvojku atd.

Al1 · 07. 04. 2015 18:04 — Editoval Al1 (07. 04. 2015 18:17)

↑ mulder:

Musíš znát bod dotyku - spočítej tedy $y_{0}$ dosazením $x_{0}=2$ do rovnice dané křivky.

A směrnice tečny je rovna derivaci této funkce.

mulder · 07. 04. 2015 18:09

↑ Al1:Směrnice tečny po dosazení $x_{0}=2$ vyšla rovnice $4y-y^{2}+5=0$ a derivace je 4-2y. Toto je tedy výsledek?

Al1 · 07. 04. 2015 18:16

↑ mulder:

Z této rovnice $4y-y^{2}+5=0$ teprve určíš bod dotyku - budou dva

Derivuješ pak původní rovnici a máš dvě možnosti.

Buď použiješ vztah $y^{\prime}=-\frac{f_{x}^{\prime}}{f_{y}^{\prime}}$

nebo derivuješ přímo $x^{2}y-y^{2}+\frac{5}{2}x=0$ s tím, že na y se díváš jako na funkci.

V obou případech máš vyjádřenou první derivaci, dosadíš příslušné souřadnice bodu dotyku a máš směrnici tečny, kterou označíš písmenem k.
Rovnice tečny je $(y-y_{0})=k(x-x_{0})$

mulder · 07. 04. 2015 18:27 — Editoval mulder (07. 04. 2015 18:27)

↑ Al1:Vyšli mi body 5 a -1. Po derivaci základní rovnice dle prvního vztahu mi vyšel výraz $y´=-\frac{2x+\frac{5}{2}}{1-2y}$ Jaké hodnoty tam mám dosadit?

Al1 · 07. 04. 2015 18:33

↑ mulder:

Body dotyku

$T_{1}[2;-1]$
$T_{2}[2;5]$
$y^{\prime}=-\frac{f_{x}^{\prime}}{f_{y}^{\prime}}$
$y^{\prime}=-\frac{2xy+\frac{5}{2}}{x^{2}-2y}$

Teď dosaď $x_{0}=2$ a $y_{0}=-1$ a dostaneš hodnotu směrnice k. A vše dosaď do rovnice tečny.

A to samé pro druhý bod.