Matematické Fórum

Elisa · 08. 04. 2015 22:12

Dobrý den, jak se prosím zjistí, že mají být znaménka u a komplexní jednotky opačná, je to kvůli tomu, že je záporný sin? Co se vlastně zjistí úpravou $\cos \frac{7}{12}\pi$ ?
Moc děkuji
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/23822_20150408_220443.jpg

holyduke · 08. 04. 2015 22:56

↑ Elisa:
Ahoj,
1) to začtverečkované znaménko před sinem je akorát opsáno z horního řádku, nic víc
2) začtverečkovaný výsledek není správně, máš tam jednu chybu ve znaménku

gadgetka

Já bych v tom viděla čistě jen změnu znaménka díky kvadrantům funkce sinus a kosinus. A úhel bych dopočítala následovně:
$\cos{\frac{7\pi}{12}}=-\cos$\pi-{\frac{7\pi}{12}}$=-\cos{\frac{5\pi}{12}}=-\cos$\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{3}$=-\[\cos\frac{\pi}{12}\cdot \cos \frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{12}\cdot \sin\frac{\pi}{3}\]$
a vyjádřila bych úhly pomocí argumentu komplexní jednotky a pomocí tabulkových hodnot ... ale jestli je má úvaha správná ... kdo ví... ;)

Edit: Jestli jsem se nespletla, vyšlo mi
$-\frac{\sqrt 6-\sqrt 2}{4}=\frac{-\sqrt 6+\sqrt 2}{4}$

Al1 · 09. 04. 2015 12:28 — Editoval Al1 (09. 04. 2015 12:35)

↑ Elisa:

$\cos \frac{\pi }{12}\cos \frac{\pi }{2}-\sin \frac{\pi }{12}\sin \frac{\pi }{2}=\cos \frac{\pi }{12}\cdot 0-\sin \frac{\pi }{12}\cdot 1=-\sin \frac{\pi }{12}$ - proto to minus
$\cos \frac{7\pi }{12}=-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\frac{-(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Elisa · 10. 04. 2015 19:31

Děkuji za odpovědi, chápu to dobře, že v celém příkladu jde jen o tom, vypočítat pro příslušný argument znaménko?

Al1 · 10. 04. 2015 21:58 — Editoval Al1 (11. 04. 2015 16:25)

↑ Elisa:

Ano, jen se podíváš, v jakém kvadrantu leží příslušný úhel a odvodíš znaméno pro cosx a sinx.

Edit:

To ale platí jen pro úhly v jednotlivých kvadrantech, které odpovídají úhlu $\frac{\pi }{12}$ z prvního kvadrantu. Jsou to úhly $\big(\pi -\frac{\pi }{12}\big)$ , $\big(\pi +\frac{\pi }{12}\big)$ , $\big(2\pi -\frac{\pi }{12}\big)$ .

Pro $\frac{5\pi }{12}$ musíš využít buď tvůj postup, nebo vztah pro doplňkové uhly $\alpha$ a $\beta$
$\alpha +\beta =90^\circ$
$\cos \alpha =\sin \beta$

Elisa · 11. 04. 2015 14:12 — Editoval Elisa (11. 04. 2015 14:13)

Děkuji a rozkládání podle součtového vzorce je jen početní dokázání? Šlo by se podívat jen na jednotkovou kružnici, jestli daný úhel leží pro cosinus nebo sinus v kladném nebo záporném kvadrantu?

Al1 · 11. 04. 2015 15:38 — Editoval Al1 (11. 04. 2015 16:26)

Viz předchozí

Elisa · 11. 04. 2015 15:39

↑ Al1:
Moc děkuji

Elisa · 11. 04. 2015 22:34

Proč se cosinus počítá pro imaginární část a sinus pro reálnou? Děkuji

Al1 · 12. 04. 2015 08:37 — Editoval Al1 (12. 04. 2015 08:39)

↑ Elisa:

Nerozumím tvé otázce, proč se kosinus počítá ...

Vycházíme z jednotkové kružnice o poloměru 1. Podívej se na trojúhelník $SP_{c}B$ . V něm platí $\sin \alpha =\frac{|P_{c}B|}{1}$ a dále $\cos \alpha =\frac{|P_{c}S|}{1}$ . Takže bod na bod B můžeme pohlížet jako na zobrazení komplexního čísla $\cos \alpha +i\sin \alpha$

Obrázek

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Elisa · 12. 04. 2015 09:44

↑ Al1:
Takže pro zjištění znaménka imaginární části (modrá) se použije $\cos$ zadaného argumentu a pro zjištění znaménka reálné části (červená se použije $\sin$ zadaného argumentu? Děkuji
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/24497_20150408_220443.jpg

Al1 · 12. 04. 2015 09:59 — Editoval Al1 (12. 04. 2015 10:04)

↑ Elisa:

Pracuješ s jednotkovou kružnicí. Pokud v prvním kvadrantu máš úhel $\frac{\pi }{12}$ , souřadnice bodu na jednotkové kružnici jsou $\bigg[\cos \frac{\pi }{12};\sin \frac{\pi }{12}\bigg]$ . Na kružnici pak najdeš ještě tři další body, které mají souřadnice v absolutních hodnotách stejné. Pro ně příslušné úhly spočítáš jako $\big(\pi -\frac{\pi }{12}\big)$ , $\big(\pi +\frac{\pi }{12}\big)$ a $\big(2\pi -\frac{\pi }{12}\big)$ pro 2. , 3. a 4. kvadrant. Souřadnice bodů na jednotkové kružnici pak jsou $\bigg[-\cos \frac{\pi }{12};\sin \frac{\pi }{12}\bigg ]$ , $\bigg[-\cos \frac{\pi }{12};-\sin \frac{\pi }{12}\bigg ]$ a $\bigg[\cos \frac{\pi }{12};-\sin \frac{\pi }{12}\bigg ]$ .
Tak spočítáš reálnou a imaginární část komplexního čísla, které má argument $\big(\pi -\frac{\pi }{12}\big)$ , což je úhel $\frac{11\pi }{12}$ atd.

Pro úhel $\frac{5\pi }{12}$ použiješ to, že je úhlem doplňkovým k úhlu $\frac{\pi }{12}$ . Platí tedy, že má souřadnice $\bigg[\sin \frac{\pi }{12};\cos \frac{\pi }{12}\bigg]$